Discussion utilisateur:VIGNERON

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    <title>Discussion utilisateur:VIGNERON</title>
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      <contributor>
        <username>Xhungab</username>
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      </contributor>
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      <text bytes="32363" sha1="eactjo74k60fdy57wywxsjw8exqqtrl" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
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Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)
::Un petit coucou de Wikilivres. La nouvelle page a été installée. Merci pour votre intervention, qui a accéléré le processus. Merci encore. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 septembre 2026 à 15:11 (UTC)</text>
      <sha1>eactjo74k60fdy57wywxsjw8exqqtrl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986641</id>
      <parentid>986617</parentid>
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      <contributor>
        <username>Xhungab</username>
        <id>11982</id>
      </contributor>
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */ Réponse</comment>
      <origin>986641</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32668" sha1="j9k6c3ndl66m2zcnft0ydyrwak427jl" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et
faire tes essais dans le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]&lt;br /&gt;
N'hésite pas à consulter les [[Wikiversité:Règles|recommandations à suivre]]
(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)
::Un petit coucou de Wikilivres. La nouvelle page a été installée. Merci pour votre intervention, qui a accéléré le processus. Merci encore. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 septembre 2026 à 15:11 (UTC)
::Bonjour, un peu d'humour sur wikilivre.
::.
::'''[https://fr.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikilivres:Le_Bistro/2026&amp;action=edit&amp;section=19 Je ne suis pas content tous seul.]'''
::.
::Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 17 septembre 2026 à 09:00 (UTC)</text>
      <sha1>j9k6c3ndl66m2zcnft0ydyrwak427jl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986642</id>
      <parentid>986641</parentid>
      <timestamp>2026-09-17T09:01:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Xhungab</username>
        <id>11982</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */</comment>
      <origin>986642</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32673" sha1="olke01q6hxgfswymna7837ipl38svjb" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et
faire tes essais dans le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]&lt;br /&gt;
N'hésite pas à consulter les [[Wikiversité:Règles|recommandations à suivre]]
(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)
::Un petit coucou de Wikilivres. La nouvelle page a été installée. Merci pour votre intervention, qui a accéléré le processus. Merci encore. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 septembre 2026 à 15:11 (UTC)
:::Bonjour, un peu d'humour sur wikilivre.
:::.
:::'''[https://fr.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikilivres:Le_Bistro/2026&amp;action=edit&amp;section=19 Je ne suis pas content tous seul.]'''
:::.
:::Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 17 septembre 2026 à 09:00 (UTC)</text>
      <sha1>olke01q6hxgfswymna7837ipl38svjb</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Xhungab</username>
        <id>11982</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */</comment>
      <origin>986643</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32669" sha1="9bfhzvao610y3af0msih1do84f2367y" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et
faire tes essais dans le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]&lt;br /&gt;
N'hésite pas à consulter les [[Wikiversité:Règles|recommandations à suivre]]
(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)
::Un petit coucou de Wikilivres. La nouvelle page a été installée. Merci pour votre intervention, qui a accéléré le processus. Merci encore. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 septembre 2026 à 15:11 (UTC)
:::Bonjour, un peu d'humour sur wikilivre.
:::.
:::'''[https://fr.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikilivres:Le_Bistro/2026&amp;action=&amp;section=19 Je ne suis pas content tous seul.]'''
:::.
:::Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 17 septembre 2026 à 09:00 (UTC)</text>
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      <minor />
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */</comment>
      <origin>986644</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32671" sha1="21tzo4kp8cs5vbnpo7923rg7178hdb3" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

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(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
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== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)
::Un petit coucou de Wikilivres. La nouvelle page a été installée. Merci pour votre intervention, qui a accéléré le processus. Merci encore. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 septembre 2026 à 15:11 (UTC)
:::Bonjour, un peu d'humour sur wikilivre.
:::.
:::'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Le_Bistro/2026#Je_ne_suis_pas_content_tous_seul. Je ne suis pas content tous seul.]'''
:::.
:::Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 17 septembre 2026 à 09:00 (UTC)</text>
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    <title>Département:Histoire contemporaine/Leçons par thèmes</title>
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__NOTOC__
{|width=100% border=0 style=&quot;background-color: #{{Idfaculté/pastel/histoire}};&quot;

|width=33% valign=&quot;top&quot;|

==Les mouvements sociaux==
* {{L|[[Échelles de gouvernement]]}}
* {{L|[[La révolution française et le XIXeme siècle, l'affirmation d'un nouvel univers politique]]}}
* {{L|[[France de la IIème République]]}}
* {{L|[[France de la IIIème République]]}}
* {{L|[[France de la IVème République]]}}
* {{L|[[France de la Vème république]]}}
* {{L|[[Révolution industrielle en Europe]]}}
* {{L|[[Croissance économique, mondialisation et mutations des sociétés]]}}
** {{L|[[Mouvement féministe]]}}
** {{L|[[Mouvement ouvrier]]}}
* {{L|[[La France dans la Grande Crise]]}}
* {{L|[[Lutte contre les maladies infectieuses]]}}
* {{L|[[Colonisation et décolonisation]]}}
* {{L|[[Décolonisation et émergence du tiers-monde]]}}
* {{L|[[Histoire de l'enseignement en France]]}}
* {{L|[[Européens dans le peuplement de la Terre]]}}
* {{L|[[Les Français et la République]]}}
* {{L|[[Mémoires, lecture historique]]}}
* {{L|[[Internet]]}}

== La France==
* {{L|[[Le Paris Haussmannien]]}}
|width=33% valign=&quot;top&quot;|

== Les confrontations  ==
* {{L|[[Nazisme et fascisme]]}}
* {{L|[[Le siècle des totalitarismes]]}}
* {{L|[[Régimes totalitaires]]}}
* {{L|[[Première Guerre mondiale]]}}
* {{L|[[Seconde Guerre mondiale]]}}
* {{L|[[Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale]]}}
* {{L|[[Guerre froide]]}}
* {{L|[[Grandes puissances et conflits]]}}
* {{L|[[Guerres au XXe siècle]]}}
* {{L|[[1914-1945 : Guerres et totalitarisme]]}}

|width=33% valign=&quot;top&quot;|

== Pays et régions du monde  ==
* {{L|[[Union des républiques socialistes soviétiques]]}}
* {{L|[[Mutations des sociétés depuis 1850]]}}
* {{L|[[Croissance et mondialisation depuis 1850]]}}
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* {{L|Amérique du Sud}}
** {{L|[[Peuples amérindiens]]}}
* {{L|Afrique}}
* {{L|Orient}}
* {{L|[[Australie et Nouvelle-Zélande]]}}
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    <title>Département:Histoire médiévale/Leçons par thèmes</title>
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* {{L|[[Introduction à l'histoire médiévale]]}}
* {{L|[[Seigneurs et seigneurie]]}}
* {{L|[[Suzerain et vassaux]]}}
* {{L|[[Campagnes françaises au Moyen Âge]]}}
* {{L|[[Châteaux forts en France]]}}
* {{L|[[Villes à la fin du Moyen Âge]]}}
* {{L|[[Monarchie française : dynasties, pouvoirs, idéologie]]}}
* {{L|[[Monde méditerranéen au XIIème siècle]]}}
* {{L|[[Sociétés et cultures de l'Europe médiévale]]}}

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    <title>Département:Histoire contemporaine/Leçons par niveaux</title>
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__NOTOC__

&lt;div style=&quot;display:block; padding:0.1em;&quot;&gt;
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|- align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#{{idfaculté/couleur/histoire}}&quot;
! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 0'''
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! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 3'''
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|- align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#{{idfaculté/couleur/histoire}}&quot;
! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 6'''
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! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 9'''
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* [[Révolution industrielle en Europe]]

|
* [[France de la IVème République]]
* [[France de la Vème république]]
* [[Guerre froide]]
* [[Première Guerre mondiale]]

|
* [[Européens dans le peuplement de la Terre]]
* [[Histoire du Québec et du Canada]]
* [[La France dans la Grande Crise]]
* [[La révolution française et le XIXeme siècle, l'affirmation d'un nouvel univers politique]]
* [[Union des républiques socialistes soviétiques]]
* [[Royaume-Uni]]

|- align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#{{idfaculté/couleur/histoire}}&quot;
! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 12'''
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* [[Colonisation et décolonisation]]
* [[Croissance économique, mondialisation et mutations des sociétés]]
* [[Croissance et mondialisation depuis 1850]]
* [[Guerres au XXe siècle]]
* [[Les Français et la République]]
* [[Le siècle des totalitarismes]]
* [[Mutations des sociétés depuis 1850]]
* [[Régimes totalitaires]]
* [[Seconde Guerre mondiale]]
* [[Italie]]

|
* [[Décolonisation et émergence du tiers-monde]]
* [[Échelles de gouvernement]]
* [[États-Unis et le monde depuis les « 14 points » de Wilson]]
* [[Grandes puissances et conflits]]
* [[Internet]]
* [[Lutte contre les maladies infectieuses]]
* [[Mémoires, lecture historique]]
* [[Nazisme et fascisme]]
* [[Proche et Moyen-Orient]]

|
* [[France de la IIème République]]
* [[Histoire de l'enseignement en France]]

|- align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#{{idfaculté/couleur/histoire}}&quot;
! width=&quot;33%&quot; |'''Niveau 15'''
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* [[Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale]]
|
* [[Australie et Nouvelle-Zélande]]
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    <title>Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>821537</parentid>
      <timestamp>2026-09-16T19:51:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Regimminius</username>
        <id>8193</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Propriétés des suites de fonctions */ Faute de frappe</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15091" sha1="rbkpa36edxfcofbk8fxf80vylgnhfzn" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Séries de fonctions/]]
  | page_liée = Exercices/Suites de fonctions
  | numéro    = 1
  | niveau    = 15
}}

On considère dans cette leçon des fonctions d'une variable réelle.

{{Définition
  | titre   = Définition : Suite de fonctions
  | contenu =
Une '''suite de fonctions''' est une suite &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\R^{\R}&lt;/math&gt; (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; la fonction &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; :&lt;br /&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
:&lt;math&gt;(f_n) : \begin{array}[t]{lcl}\mathbb N &amp;\rightarrow &amp;   \R^{\R} \\
                               n &amp; \mapsto    &amp; f_n
               \end{array}
&lt;/math&gt; 
&lt;/div&gt;
}}

{{Exemple
 | contenu =
Voici la représentation graphique pour quelques valeurs de &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; de la suite de fonctions &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; définie par &lt;math&gt;f_n(x) = \sin ^n x \; \forall n\in \mathbb N &lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;[0;\pi]&lt;/math&gt; .
[[Fichier:Drini-nonuniformconvergence.png|center|400 px]]
}}

== Convergence simple ==

{{Définition
  | titre   = Définition : Convergence simple d'une suite de fonctions
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; une suite de fonctions définies sur &lt;math&gt;\mathcal D\subset \R&lt;/math&gt;.

On dit que &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; '''converge simplement vers la fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;''' si pour chaque réel &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt;, la suite numérique &lt;math&gt;(f_n(x))&lt;/math&gt; converge vers le réel &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;.

Dans le « langage des &lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt; », cela donne :
{{Encadre|class=center|contenu=&lt;math&gt;\forall x\in \mathcal D\quad\forall \varepsilon &gt;0\quad\exists n_{\varepsilon,x} \in \mathbb N\quad\forall n \in \mathbb N\quad n \ge n_{\varepsilon,x} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| &lt; \varepsilon&lt;/math&gt;.}}
}}

Cela signifie qu'on se fixe une valeur de &lt;math&gt;x\in \mathcal D&lt;/math&gt; et qu'on étudie la convergence d'une suite « paramétrée par &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; » qui est la suite &lt;math&gt;(f_n(x))&lt;/math&gt; .

{{Exemple 
 | contenu =
La figure ci-dessus permet de penser que la suite de fonctions &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; converge simplement vers la fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; définie sur &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt; par :
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
:&lt;math&gt;f : x \mapsto \begin{cases} 0,  \mathrm{\;si\;} x\ne \frac\pi2\\ 1,  \mathrm{\;si\;} x =\frac\pi2\end{cases}
&lt;/math&gt; 
&lt;/div&gt;
Pour le démontrer, il suffit de remarquer que &lt;math&gt;\forall x \in [0,\pi]\setminus\left\{\frac\pi2\right\}\quad|\sin x| &lt; 1&lt;/math&gt;. On a donc dans ce cas affaire à une suite &lt;math&gt;(f_n(x))&lt;/math&gt; géométrique de raison &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; qui converge donc vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. La suite &lt;math&gt;(f_n(\frac{\pi}{2}))&lt;/math&gt; est constante et converge vers &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.
}}

On remarque dans cet exemple que ''la convergence simple ne permet pas de maîtriser les propriétés analytiques de la fonction limite'' : la suite de fonctions ici considérée est une suite de fonctions continues mais la fonction limite présente une discontinuité en &lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt; . C'est ce qui motive l’introduction de la notion de '''convergence uniforme'''.

== Convergence uniforme ==

Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu &quot;uniformément&quot; (c'est-à-dire &quot;à la même vitesse&quot;) sur tout le domaine de définition &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt;. Ce n’est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une &quot;bosse&quot; en &lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt; qui &quot;persiste&quot; lors du passage à la limite.

{{Définition
  | titre   = Définition : Convergence uniforme d'une suite de fonctions
  | contenu ={{Wikipédia|Convergence uniforme}}
Soit &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; une suite de fonctions définies sur &lt;math&gt;\mathcal D\subset \R&lt;/math&gt;.
* On dit que &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; '''converge uniformément vers la fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;''' si :
*:&lt;math&gt;\forall\varepsilon&gt;0\quad\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb N\quad\forall n\in\mathbb N\quad n\ge n_{\varepsilon}\Rightarrow\forall x\in\mathcal D\quad|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon&lt;/math&gt;.
* Cela équivaut à dire que la suite de terme général &lt;math&gt;\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x\in\mathcal D} |f_n(x) - f(x)|&lt;/math&gt; converge vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, c'est-à-dire :
*:&lt;math&gt;\forall\varepsilon&gt;0\quad\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb N\quad\forall n\in\mathbb N\quad n\ge n_{\varepsilon}\Rightarrow\|f_n - f\|_\infty &lt; \varepsilon&lt;/math&gt;.
}}

On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».

'''Remarque''' Sur l'espace &lt;math&gt;\mathcal C^0(\mathcal D)&lt;/math&gt;, (où &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; est un '''compact'''), la '''norme « infinie »''' ou '''norme ''sup''''' ou encore '''norme de la convergence uniforme''' s'écrit :
:&lt;math&gt;{\|f\|}_{\infty} = \sup_{t\in \mathcal D} |f(t)|&lt;/math&gt;.

{{Exemple
 | contenu =
Soit la suite de fonctions &lt;math&gt;f_n : x \mapsto\mathrm e^{-nx}&lt;/math&gt; définies sur &lt;math&gt;\left[1,+\infty\right[&lt;/math&gt;.

Montrer que cette suite converge uniformément vers la fonction nulle.
{{Solution|contenu=
Pour tout réel &lt;math&gt;x\ge1&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;0&lt;f_n(x)\le f_n(1)=\mathrm e^{-n}&lt;/math&gt;. Donc
:&lt;math&gt;\|f_n-f\|_\infty= \mathrm{e}^{-n}\xrightarrow[n\to +\infty]{}0&lt;/math&gt;.
On en déduit le résultat voulu :
:&lt;math&gt;(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU}0&lt;/math&gt;.
}}
}}

== Propriétés des suites de fonctions ==

=== Propriétés de la convergence simple ===
La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :

{{Propriété
  | titre   = Propriétés
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVS} f&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathcal D \subset \R&lt;/math&gt; .&lt;br /&gt;
Si &lt;math&gt;\forall n\in \mathbb N&lt;/math&gt; la fonction &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; est '''croissante''' sur &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; , alors la fonction limite &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est '''croissante''' sur &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; .&lt;br /&gt;
La propriété reste vraie en remplaçant &quot;croissante&quot; par &quot;décroissante&quot;, &quot;paire&quot;, &quot;impaire&quot; (pour la parité, le domaine &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; doit être symétrique par rapport à &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ).
}}

(démonstration et exemple à faire)

=== Propriétés de la convergence uniforme ===
Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d’abord :

{{Théorème
  | contenu = 
Toute suite de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.
}}
La réciproque est fausse (voyez le premier exemple ci-dessus).
{{Démonstration déroulante
  | contenu=
Si &lt;math&gt;\forall \varepsilon &gt;0, \exists n_{\varepsilon}\in \mathbb N | \forall x\in \mathcal D, \forall n \in \mathbb N , n \ge n_{\varepsilon,} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| &lt; \varepsilon&lt;/math&gt; , alors &lt;math&gt;\forall x\in \mathcal D, \forall \varepsilon &gt;0, \exists n_{\varepsilon,x} =  n_{\varepsilon}\in \mathbb N|  \forall n \in \mathbb N , n \ge n_{\varepsilon,x} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| &lt; \varepsilon&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;
&quot;En clair&quot;, si pour tout &lt;math&gt;\varepsilon &gt;0&lt;/math&gt;, je peux trouver un rang &lt;math&gt;n_{\varepsilon}&lt;/math&gt; tel que la convergence ait lieu indépendamment de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; alors, pour tout &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, je peux trouver un rang &lt;math&gt;n_{\varepsilon,x} = n_{\varepsilon}&lt;/math&gt; tel que la convergence ait lieu.
}}


{{Théorème
  | titre   = Théorème d'interversion des limites
  | contenu ={{Wikipédia|Théorème d'interversion des limites}}
Soit &lt;math&gt;(f_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{CVU} f&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathcal D \subset \R&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; un point adhérent à &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt;.

Si pour tout &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\ell_n=\lim_af_n&lt;/math&gt; existe, alors les deux limites &lt;math&gt;\lim_af&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\lim_{n\to+\infty}\ell_n&lt;/math&gt; existent et sont égales, autrement dit :
{{Encadre|class=center|contenu=&lt;math&gt;\lim_{x\to a} \left(\lim_{n\to +\infty} f_n (x)\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)&lt;/math&gt;.}}
}}
La démonstration repose de façon cruciale sur la convergence des [[Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées#Suite de Cauchy|suites de Cauchy]] dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;. Pour un énoncé plus général — dans lequel le critère de Cauchy pour les suites est étendu aux fonctions — voir [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|« Corollaire : théorème d'interversion des limites » dans la leçon de topologie]] (de niveau 16).

{{Démonstration déroulante|contenu=
Par hypothèse, pour tout &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; :
*puisque &lt;math&gt;(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exist n_{\varepsilon}\in\N\quad\forall x\in\mathcal D\quad\forall n\in\N\quad n\ge n_{\varepsilon} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| &lt; \varepsilon\qquad(*)&lt;/math&gt; ;
*puisque &lt;math&gt;\lim_af_n=\ell_n&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\forall n\in\N\quad\exist\eta_{\varepsilon,n}&gt;0\quad\forall x\in\mathcal D\quad|x-a|&lt;\eta_{\varepsilon,n} \Rightarrow |f_n(x)-\ell_n| &lt; \varepsilon&lt;/math&gt;.

Pour &lt;math&gt;p,q\ge n_{\varepsilon}&lt;/math&gt; fixés, on déduit de &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; que &lt;math&gt;\forall x\in\mathcal D\quad|f_p(x)-f_q(x)|&lt;2\varepsilon&lt;/math&gt; donc (par passage à la limite quand &lt;math&gt;x\to a&lt;/math&gt;) &lt;math&gt;|\ell_p-\ell_q|\le2\varepsilon&lt;/math&gt;.

Ceci prouve que la suite &lt;math&gt;(\ell_n)&lt;/math&gt; est de Cauchy. Elle admet donc une limite &lt;math&gt;\ell&lt;/math&gt;, qui vérifie (par passage à la limite quand &lt;math&gt;q\to +\infty&lt;/math&gt;) : &lt;math&gt;\forall p\ge n_{\varepsilon}\quad|\ell_p-\ell|\le2\varepsilon&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\delta_{\varepsilon}=\eta_{\varepsilon,n_\varepsilon}&lt;/math&gt;. Pour tout &lt;math&gt;x\in\mathcal D\cap\left]a-\delta_{\varepsilon},a+\delta_{\varepsilon}\right[&lt;/math&gt;, on a :
:&lt;math&gt;|f(x)-\ell|\le|f(x)-f_{n_\varepsilon}(x)|+|f_{n_\varepsilon}(x)-\ell_{n_\varepsilon}|+|\ell_{n_\varepsilon}-\ell|&lt;4\varepsilon&lt;/math&gt;,
ce qui prouve que &lt;math&gt;\lim_af=\ell&lt;/math&gt;.
}}

{{Corollaire
  | contenu = La limite d'une suite uniformément convergente de fonctions continues est continue.
}}
La contraposée de ce corollaire est particulièrement utile : si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors cette convergence n'est pas uniforme.
{{Exemple|contenu=On considère une fonction &lt;math&gt;f:[0,1]\to[0,1]&lt;/math&gt; strictement croissante telle que &lt;math&gt;f(1)=1&lt;/math&gt;. Étudier la convergence (simple et uniforme) de la suite &lt;math&gt;(f^n)&lt;/math&gt;.
{{Solution|contenu=&lt;math&gt;(f^n)&lt;/math&gt; converge simplement vers la [[Application_(mathématiques)/Définitions#Exemples_d’applications|fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; indicatrice de &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;]], qui est discontinue. La convergence n’est donc pas uniforme. Remarquons qu'on a tout de même &lt;math&gt;\int_0^1f^n\to0=\int_0^1f&lt;/math&gt;. En effet, pour tout &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\int_0^{1-\varepsilon}f^n\to0&lt;/math&gt; (par convergence uniforme sur &lt;math&gt;[0,1-\varepsilon]&lt;/math&gt; ou simplement par majoration par &lt;math&gt;(1-\varepsilon)f^n(1-\varepsilon)&lt;/math&gt;) et &lt;math&gt;\int_{1-\varepsilon}^1f^n\le\varepsilon&lt;/math&gt;.
}}
}}

{{Théorème
  | titre   =Théorème d'interversion limite-dérivée
  | contenu = 
Soit &lt;math&gt;f_n,g&lt;/math&gt; définies sur un intervalle ouvert &lt;math&gt;\mathcal D \subset \R&lt;/math&gt;.

Si :
*&lt;math&gt;(f'_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU}g&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; ;
* il existe un point &lt;math&gt;a\in\mathcal D&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\left( f_n \left(a \right) \right)&lt;/math&gt; converge ;
alors :
*la suite &lt;math&gt;\left( f_n \right)&lt;/math&gt; converge simplement vers une fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; définie sur &lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt; (la convergence est même uniforme sur tout sous-intervalle borné de {{nobr|&lt;math&gt;\mathcal D&lt;/math&gt;) ;}}
* cette fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est dérivable et &lt;math&gt;f'= g&lt;/math&gt;, autrement dit :
{{Encadre|class=center|contenu=&lt;math&gt;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_n \right)&lt;/math&gt;}}.
}}
(Si les &lt;math&gt;f'_n&lt;/math&gt; sont continues, &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; le sera donc également.)
{{Démonstration déroulante|contenu=[[Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Théorème de différentiation terme à terme]]
}}
{{Exemple|contenu=Pour &lt;math&gt;n\in\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x\in[0,\pi/2]&lt;/math&gt;, on note &lt;math&gt;f_n(x)=n\cos^nx\sin x&lt;/math&gt;.

Montrer que la suite de fonctions &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; converge simplement mais pas uniformément.
{{Solution|contenu=
&lt;math&gt;f_n(0)=0&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;x\in\left]0,\pi/2\right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_n(x)\to0&lt;/math&gt; (par croissances comparées). Cependant, &lt;math&gt;\int_0^{\pi/2}f_n=\int_1^0nt^n\,(-\mathrm dt)=\frac n{n+1}\to1&lt;/math&gt;. La convergence de &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; n'est donc pas uniforme sur &lt;math&gt;[0,\pi/2]&lt;/math&gt; (elle l'est seulement sur &lt;math&gt;[\varepsilon,\pi/2]&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt;). C'est même pire et l'on peut d'ailleurs le redémontrer directement : &lt;math&gt;\forall x\in[0,\pi/2]\quad0\le f_n(x)\le f_n\left(\arctan\frac1\sqrt n\right)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\|f_n\|_\infty=\sqrt n\left(1+\frac1n\right)^{-\frac{n+1}2}\sim\sqrt\frac n{\mathrm e}\to+\infty&lt;/math&gt;.
}}
}}


{{Théorème
  | titre   = Théorème d'interversion limite-intégrale
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathcal D \subset \R&lt;/math&gt; et soient &lt;math&gt;a&lt;b \in \mathcal D&lt;/math&gt;. On suppose de plus que &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; est continue par morceaux sur &lt;math&gt;[a,b]\subset \mathcal D&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;n\in\N&lt;/math&gt;.

Alors :

{{Encadre|class=center|contenu=&lt;math&gt;\int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n (x)\;\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\;\mathrm{d}x&lt;/math&gt;.}}
}}
C'est un corollaire du théorème précédent, grâce au [[Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Le théorème fondamental de l'analyse : lien intégrale-primitives|théorème fondamental de l'analyse]].

{{Avertissement|Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme d'une suite de fonctions n'implique pas la convergence de la suite de leurs intégrales.

Exemple : soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction bornée, intégrable et d'intégrale non nulle. Posons &lt;math&gt;f_n(x)=\frac1nf\left(\frac xn\right)&lt;/math&gt;.

Alors, &lt;math&gt;\|f_n\|_\infty=\frac1n\|f\|_\infty\to0&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\int_{-\infty}^{+\infty}f_n=\int_{-\infty}^{+\infty}f\ne0&lt;/math&gt;.
}}

Enfin, on a le

{{Théorème
  | titre   = Théorème de convergence dominée (Lebesgue)
  | contenu =
Si :
* &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; est continue par morceaux sur &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;n\in\N&lt;/math&gt; ;
* la suite de fonctions &lt;math&gt;(f_n)&lt;/math&gt; converge simplement vers une fonction &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; continue par morceaux sur &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; ;
* il existe une fonction &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; continue par morceaux sur &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; telle que : 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;\forall n \in\N\quad\forall x\in[a,b]\quad|f_n(x)|\le g(x)&lt;/math&gt; '''(hypothèse de domination)''' ;&lt;/div&gt;

alors

{{Encadre|class=center|contenu=&lt;math&gt;\int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n (x)\;\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\;\mathrm{d}x&lt;/math&gt;.}}
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
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    <title>Recherche:Flou stroboscopique</title>
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      <timestamp>2026-09-16T20:18:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phprevet</username>
        <id>19657</id>
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      <comment>Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux et coplanaires</comment>
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      <text bytes="78499" sha1="9j9anixlc0lldve1pbojeupaaxvb1eg" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur
}}
[[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Voici le texte intégral du chapitre, tu peux le copier-coller directement :
----]]

[[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Elargissement du centre d'un anneau]]
[[Fichier:Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan.jpg|vignette|Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan]]
[[Fichier:Forces exercées sur une courbe géodésique.jpg|vignette|Forces exercées sur une masse qui gravite autour de la terre dans un référentiel ECEF]][[Fichier:Flou stroboscopique numérique.gif|vignette|Rotations d'anneaux RVB de 40° toutes les 0,025 s derrière un appareil photo]]

[[File:3826 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]
[[File:3827 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]]
[[File:3828 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]]
[[File:3829 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]]
[[File:3830 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]
[[File:3831 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]
[[File:3832 flou stroboscopique 3D rectiligne.jpg|thumb|]]
[[File:3833 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]
[[File:3834 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]
[[File:3835 flou stroboscopique.jpg|thumb|]]

[[Fichier:Anim flou stroboscopique 3D rectiligne.gif|vignette|Animation flou stroboscopique 3D rectiligne, photos en 256 couleurs prises à 1/40s pour un angle par dichotomie de pi/3 ]]
[[Fichier:Flou stroboscopique 3D rectiligne.mpg|vignette|Modèle statuette d'argile pour flou stroboscopique 3D rectiligne]]
[[Fichier:Modèle synthèse additive aux couleurs RVB .mpg|vignette|Modèle Synthese additive 3D aux couleurs RVB]]
[[Fichier:Formule Flou stroboscopique originale.jpg|vignette|Flou stroboscopique formule originale]]'''Le Flou de Mouvement des Objets en Rotation'''

'''Chapitre 1 : Le Flou de Mouvement et la Perception Visuelle sur une Platine'''

Le &quot;flou de mouvement&quot; d'un vinyle n'est pas un phénomène sonore, mais une '''expression visuelle''' capturée en photographie. Il apparaît lorsque l'on photographie un objet en mouvement (comme un disque vinyle en rotation) avec un appareil photo réglé sur une '''longue exposition'''. Durant cette période, la lumière de l'objet est &quot;étirée&quot; sur le capteur, créant des '''traînées lumineuses ou des zones floues''' qui suggèrent la vitesse et le dynamisme du mouvement. Pour un vinyle, cela se manifeste par de magnifiques arcs ou cercles concentriques flous, transformant le mouvement en une sorte de peinture de lumière et de temps.

'''Le Calcul du Temps d'Exposition pour un Angle Précis'''

Pour maîtriser ce flou et obtenir un effet précis, il est possible de calculer le temps d'exposition nécessaire. Ce calcul dépend de l'angle de flou désiré et de la vitesse de rotation du vinyle (RPM). La formule générale est la suivante :

Tempsdeˊxposition(ensecondes)=fracAngledeˊsireˊ(endegreˊs)Vitessederotationduvinyle(endegreˊs/seconde)

Pour un vinyle à '''33 1/3 tours/minute (environ 200 degrés par seconde)''', un flou de '''45 degrés''' nécessite environ '''0,225 seconde'''. Pour un vinyle à '''45 tours/minute (environ 270 degrés par seconde)''', le même flou de '''45 degrés''' demande environ '''0,167 seconde'''. Ces calculs permettent d'ajuster l'appareil pour obtenir l'étendue de flou souhaitée.

'''Le Disque de Newton à l'Épreuve du Flou de Mouvement : Quand le blanc apparaît doublement'''

Un cas fascinant se présente si l'on photographie un '''disque de Newton''' (avec ses secteurs colorés) en rotation, en utilisant une '''longue exposition''' (suffisante pour qu'il fasse au moins un tour complet). Le résultat photographique sera un '''cercle blanc ou grisâtre''', similaire à ce que perçoit l'œil humain. Ce n'est pas dû à la persistance rétinienne de l'œil, mais à la capacité du '''capteur de l'appareil photo à intégrer toutes les lumières colorées''' du spectre sur la durée de l'exposition, réalisant une synthèse additive des couleurs directement sur le capteur et aboutissant au blanc. C'est une illustration éloquente de la convergence de principes physiques différents vers un même rendu visuel.

'''Comparaison : Persistance Rétinienne vs. Flou de Mouvement en Rotation de Platine'''
{| class=&quot;wikitable&quot;
| valign=&quot;top&quot; |Caractéristique
| valign=&quot;top&quot; |Persistance Rétinienne (Œil Humain)
| valign=&quot;top&quot; |Flou de Mouvement (Appareil Photo)
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Nature du Phénomène'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Biologique et neurologique :''' Une propriété de notre système visuel et de notre cerveau.
| valign=&quot;top&quot; |'''Physique et optique :''' Un effet capturé par un appareil photographique (capteur ou film).
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Mécanisme'''
| valign=&quot;top&quot; |Le cerveau &quot;maintient&quot; une image pendant une courte durée (~1/10 à 1/25 de seconde), fusionnant des stimulations visuelles rapides et discrètes en une perception continue.
| valign=&quot;top&quot; |Le capteur de l'appareil photo '''accumule physiquement la lumière''' pendant le temps d'exposition. Le mouvement de l'objet pendant ce temps est enregistré comme une traînée.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Cause de l'effet'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Rapidité du changement :''' L'objet (ou les couleurs) change de position trop vite pour que l'œil puisse percevoir chaque instant distinctement.
| valign=&quot;top&quot; |'''Mouvement pendant la capture :''' L'objet bouge physiquement pendant que l'obturateur de l'appareil est ouvert.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Ce qui est perçu/capturé sur une platine'''
| valign=&quot;top&quot; |Si le disque tourne très vite (comme un Disque de Newton), les couleurs fusionnent et sont perçues comme une seule (ex: blanc). Le mouvement rapide peut sembler continu.
| valign=&quot;top&quot; |La rotation du disque est enregistrée comme une '''traînée floue ou des arcs lumineux''', montrant la trajectoire du mouvement pendant le temps d'exposition.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Est-ce réglable ?'''
| valign=&quot;top&quot; |'''Non :''' C'est une caractéristique fixe de l'œil humain.
| valign=&quot;top&quot; |'''Oui :''' Entièrement contrôlable par le temps d'exposition de l'appareil photo.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Déclencheur sur la platine'''
| valign=&quot;top&quot; |La '''vitesse de rotation du disque''' doit être supérieure à un certain seuil pour que les informations se mélangent pour l'œil (fréquence de fusion).
| valign=&quot;top&quot; |La '''durée du temps d'exposition''' est la clé. Plus le temps est long, plus le flou de mouvement est important pour une vitesse donnée.
|-
| valign=&quot;top&quot; |'''Relation avec la &quot;fréquence&quot;'''
| valign=&quot;top&quot; |Associé à la '''fréquence de fusion du scintillement''' (~50-60 Hz) : au-delà de laquelle l'œil perçoit la continuité.
| valign=&quot;top&quot; |Pour la photo unique, liée au '''temps d'exposition'''. Pour la vidéo, liée à la '''fréquence d'images''' (framerate).
|}
'''Conclusion du chapitre :'''

Il est important de ne pas confondre le flou de mouvement avec le '''flou stroboscopique'''. Le '''flou de mouvement &quot;classique&quot;''' est une '''traînée continue et lisse''' obtenue sous un éclairage constant lorsque l'objet bouge pendant l'exposition. En revanche, un '''effet stroboscopique''' (souvent lié à un éclairage intermittent ou une capture discrète à faible cadence) produira des '''images multiples ou des &quot;fantômes&quot;''' de l'objet en mouvement sur une même photo, marquant des positions distinctes plutôt qu'une traînée fluide. Le flou de mouvement est l'effet de la durée d'exposition, tandis que l'effet stroboscopique est un effet de &quot;multiples captures&quot; du mouvement.

'''Chapitre 2 : Les Couleurs dans le Flou de Mouvement'''

Dans le premier chapitre, il a été établi que le flou de mouvement est la trace visuelle laissée par un objet en déplacement sur une photo à longue exposition. Lorsque cet objet est coloré, ou lorsqu'il interagit avec des lumières colorées, le phénomène prend une dimension encore plus riche et fascinante.

'''1. L'étirement des Couleurs : Des Traînées Lumineuses et la Mesure des Arcs'''

Lorsqu'une source de lumière ponctuelle, telle qu'une petite LED colorée, est attachée à un vinyle en rotation, elle ne demeure pas un simple point. Pendant que le disque tourne et que l'obturateur de l'appareil photo reste ouvert, cette lumière colorée s'étire le long de sa trajectoire circulaire, créant une '''traînée lumineuse''' qui conserve la couleur de sa source. Ainsi, le flou de mouvement transforme les points colorés en arcs ou en cercles lumineux.

Il est possible de calculer précisément la longueur de cet arc de cercle (la &quot;distance&quot; parcourue par la lumière) en fonction de la vitesse de rotation du vinyle et du temps d'exposition de l'appareil photo. Si l'angle du flou est theta (en radians) et le rayon de la traînée est r, la longueur de l'arc est donnée par la formule :

Longueurdelaˊrc=rtimestheta

Pour obtenir theta en radians, il est nécessaire de convertir l'angle en degrés par :

thetarad=textangleendegreˊstimesfracpi180

'''2. La Synthèse Additive des Couleurs RVB dans le Mouvement Circulaire et sa Représentation Matricielle par Intensité'''

Le comportement des couleurs dans le flou de mouvement est particulièrement révélateur concernant la '''synthèse additive'''. Cette synthèse concerne la lumière, et ses couleurs primaires sont le '''Rouge (R), le Vert (V) et le Bleu (B) (RVB)'''.

Lorsque l'on attache des LED RVB à différents points d'un vinyle en rotation, ou que l'on éclaire le disque avec ces trois couleurs distinctes sous une longue exposition photographique, chaque LED colorée génère sa propre traînée lumineuse circulaire. La superposition de ces cercles lumineux sur le capteur entraîne une modification de la couleur de chaque traînée par addition des codes couleur RVB dans la matrice du capteur.

Là où ces cercles lumineux se chevauchent, la lumière des différentes couleurs s'additionne, selon les principes de la synthèse additive :

* Rouge + Vert = '''Jaune'''
* Rouge + Bleu = '''Magenta'''
* Vert + Bleu = '''Cyan'''

Le phénomène le plus spectaculaire survient si le mouvement est suffisant pour que les trois couleurs primaires se chevauchent complètement et uniformément sur toute la surface de la rotation (à l'instar d'un disque de Newton photographié en longue exposition) : la somme de ces lumières primaires converge alors vers le '''Blanc'''.

Le capteur photographique, en tant qu'accumulateur de lumière pendant le temps d'exposition, réalise cette synthèse additive. Il intègre toute la lumière reçue, créant de nouvelles teintes là où les rayons lumineux des couleurs RVB se rencontrent sur la même zone du capteur.

Pour mieux visualiser ces superpositions, une représentation tabulaire inspirée d'un diagramme de Venn peut être utilisée. Les valeurs de 0 à 255 indiquent l'intensité de chaque composante de couleur (255 étant l'intensité maximale, 0 l'absence) :
{| class=&quot;wikitable&quot;
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Rouge (R)
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Verte (V)
| valign=&quot;top&quot; |Intensité Bleue (B)
| valign=&quot;top&quot; |Couleur résultante (synthèse additive de lumière)
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Rouge pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Verte pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Bleue pure'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Jaune'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Magenta'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Cyan'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |255
| valign=&quot;top&quot; |'''Lumière Blanche'''
|-
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |0
| valign=&quot;top&quot; |'''Noir (Absence de lumière)'''
|}
Note sur les couleurs complexes (comme le marron) :

Il est important de souligner que des couleurs comme le marron ne peuvent pas être directement représentées comme une simple ligne dans cette matrice simplifiée, car elles résultent d'un mélange des trois couleurs primaires (RVB) avec des intensités spécifiques et généralement non maximales pour chaque composante, aboutissant à une luminosité globale plus faible. Par exemple, un marron clair pourrait avoir un code RVB de (139, 69, 19). Cela correspond à une combinaison plus nuancée des intensités dans l'espace colorimétrique RVB plutôt qu'à une superposition &quot;tout ou rien&quot; des primaires.

'''3. L'Impact des Sources Lumineuses et du Noir : Lumières VS Surfaces'''

La manifestation de la couleur dans le flou de mouvement est fortement influencée par sa source :

* Les '''lumières auto-lumineuses''' (telles que les LEDs) génèrent des traînées très vives et saturées, puisqu'elles émettent directement leur propre lumière.
* Les '''objets colorés réflecteurs''' (comme une surface peinte sur le vinyle) produisent des flous plus subtils, leur couleur dépendant de l'éclairage ambiant qu'ils réfléchissent.

L'incorporation du '''noir''', en tant que couleur neutre, sur un vinyle peint en RVB a un effet distinctif. Le noir absorbe la quasi-totalité de la lumière et n'en émet pas. Dans le flou de mouvement :

* Les sections noires ne génèrent pas de traînées lumineuses. Elles apparaîtront comme des zones sombres ou des &quot;manques&quot; au sein des arcs lumineux colorés.
* Le noir est crucial pour créer du contraste. Ces zones d'ombre définies mettent en valeur les trajectoires lumineuses des couleurs RVB, apportant profondeur et structure à l'effet visuel. Dans le système RVB, le noir est représenté par (0, 0, 0), signifiant l'absence totale de lumière.

'''4. Créativité et Expression Artistique : Peindre avec la Lumière et le Mouvement et la Nuance des Teintes Complexes'''

Le flou de mouvement coloré constitue un puissant outil artistique. Il permet des techniques telles que le &quot;'''light painting'''&quot;, où des mouvements de sources lumineuses créent des formes abstraites dans l'air. Sur une platine, il peut générer des motifs hypnotiques et des mandalas lumineux, transformant la rotation en une œuvre d'art dynamique qui évoque des émotions par la danse des couleurs.

Au-delà des mélanges vifs du RVB, l'artiste peut également explorer des teintes plus complexes comme le '''marron''' dans le flou de mouvement circulaire. Le marron, étant une combinaison de Rouge, Vert et Bleu à des intensités spécifiques et généralement plus faibles (par exemple, RVB 139, 69, 19), ne se forme pas par une simple superposition maximale comme le blanc. Si l'on imagine un objet en arc de cercle composé de segments discrets affichant ces intensités (139 rouge, 69 vert, 19 bleu) et tournant sur un fond noir, il est crucial de noter que '''l'objet lui-même, à l'arrêt, n'apparaîtrait pas marron'''. Chaque segment serait perçu individuellement selon sa couleur RVB pure. Le marron est la '''couleur émergente''' qui résulte de la '''synthèse additive de la lumière''' de ces segments, intégrée par le capteur photographique sur la durée du mouvement. L'utilisation de '''lumières colorées pour créer du marron''' par le flou de mouvement exige un contrôle précis des intensités de chaque composante RVB afin d'obtenir la nuance et la luminosité intégrée désirées sur le capteur. Un objet physique marron en rotation créera simplement une traînée marron, dont la complexité de composition RVB sera fidèlement intégrée par le capteur, ajoutant une richesse subtile à l'effet. Cette approche ouvre la voie à des créations plus nuancées, moins éclatantes que les couleurs primaires et secondaires, mais offrant une palette émotionnelle différente, évoquant la terre, la chaleur ou la nostalgie à travers le mouvement.

'''Conclusion du chapitre :'''

En conclusion, l'étude des couleurs dans le flou de mouvement révèle une dimension fascinante de la photographie. Il est observé que les teintes individuelles s'étirent en '''traînées lumineuses''' le long de la trajectoire du mouvement. La superposition des lumières colorées, notamment des primaires '''RVB''', conduit à une '''synthèse additive''' directement sur le capteur photographique, créant de nouvelles couleurs secondaires et, à saturation complète, le blanc. L'impact visuel des couleurs dépend fortement de leur source, les lumières auto-lumineuses offrant des traînées vives, et le noir jouant un rôle crucial en soulignant les contrastes. Cette capacité à manipuler et à fondre les couleurs à travers le mouvement et le temps d'exposition ouvre des voies artistiques considérables, permettant la création de compositions abstraites, d'effets hypnotiques, et même l'exploration de nuances plus complexes comme le marron, en maîtrisant les intensités des composantes RVB. Le flou de mouvement, avec l'apport des couleurs, devient ainsi un outil puissant pour sculpter la lumière et l'émotion dans l'image, offrant une perspective unique sur la manière dont le temps et le mouvement peuvent transformer la perception visuelle.

'''Chapitre 3 : Dynamiques Mathématiques du Mouvement Circulaire et de la Lumière'''

Dans les chapitres précédents, il a été exploré comment le mouvement de rotation d'un vinyle se traduit visuellement par le flou photographique et comment les couleurs s'y fusionnent. Ce chapitre va approfondir les principes mathématiques et physiques qui sous-tendent ces phénomènes, permettant une compréhension plus quantitative de la dynamique lumineuse en jeu.

'''1. Les Fondamentaux du Mouvement Circulaire Uniforme et du Flou'''

Pour analyser le flou en rotation, il est essentiel de comprendre le mouvement circulaire uniforme (MCU), caractérisé par une vitesse angulaire constante. Les formules suivantes sont des outils précis pour décrire cette dynamique :

* Vitesse Angulaire (omega) : Elle représente la variation de l'angle par unité de temps. Pour une platine, si la vitesse est donnée en tours par minute (RPM - Revolutions Per Minute), la conversion en radians par seconde est :   omegarad/s=textRPMtimesfrac2piradians60secondes   À titre d'exemple, pour 33 1/3 RPM, omegaapprox3,49textrad/s, et pour 45 RPM, omegaapprox4,71textrad/s.
* Période (T) : Le temps nécessaire pour effectuer un tour complet.   T=frac2piomegaquad(textensecondes)
* Fréquence (f) : Le nombre de tours par unité de temps, soit l'inverse de la période.   f=frac1T=fracomega2piquad(textenHertzoutours/seconde)
* Vitesse Linéaire (v) : La vitesse à laquelle un point se déplace le long de sa trajectoire circulaire. Elle dépend du rayon (r) de la position du point par rapport au centre de rotation :   v=rtimesomega   Cette relation est fondamentale : un point plus éloigné du centre du disque aura une vitesse linéaire plus élevée.
* L'Angle de Flou (Deltatheta) : Il représente l'angle total balayé par la rotation de l'objet pendant le temps d'exposition (Deltat) de l'appareil photo.   Deltatheta=omegatimesDeltat   Cet angle est directement lié à la longueur de l'arc de flou qui sera capturée sur l'image finale.

'''2. La Synthèse Additive par Pondération des Intensités'''

Le capteur photographique fonctionne en accumulant la lumière sur la durée de l'exposition. Lorsque différentes sources lumineuses colorées interagissent avec un même pixel pendant le mouvement, le résultat est une synthèse additive des intensités lumineuses. Les formules d''''addition pondérée des composantes RVB''' modélisent précisément ce phénomène :

Pour un pixel P, l'intensité finale de chaque composante de couleur (RP,VP,BP) est la somme des contributions de chaque source lumineuse i (Ri,Vi,Bi) multipliée par la fraction du temps (Deltati/Deltattotal) pendant laquelle la lumière de cette source a illuminé ce pixel. Cela représente une '''moyenne pondérée temporelle''' de la lumière accumulée :

&lt;nowiki&gt;$$R_P = \\sum_i R_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$V_P = \\sum_i V_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$B_P = \\sum_i B_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$&lt;/nowiki&gt;

Ce principe est essentiel pour comprendre comment un pixel enregistre une nouvelle couleur qui n'était pas nécessairement présente de manière continue, mais qui émerge de l'intégration des différentes lumières qu'il a reçues au fil du temps.

'''3. Cas Pratique : Calcul des Angles pour le Marron'''

Pour illustrer l'application de ces principes, prenons l'exemple de la création du '''marron''' (RVB : 139, 69, 19) par des segments colorés en rotation.

# '''Définition des valeurs (Lx) :''' Ces valeurs représentent les contributions relatives de chaque couleur.
#* Lr=139 (Rouge)
#* Lv=69 (Vert)
#* Lb=19 (Bleu)
#* Ln=0 (Noir, car il n'apporte pas de lumière active pour la couleur)

# '''Calcul de la somme des valeurs (L) :''' L=Ln+Lr+Lv+Lb=0+139+69+19=227. Cette valeur L représente la somme des proportions lumineuses des segments pour un mélange complet.
# '''Angle total de l'arc :''' Pour que ces segments se mélangent en une couleur unique sur l'image finale (comme sur un disque de Newton), il est supposé qu'ils couvrent la totalité du cercle de flou, soit 2pi radians ($360^\\circ$).
# '''Calcul des angles de chaque segment (thetax) :''' La formule utilisée est thetasegment=DeltathetatotaltimesfractextValeurdusegmentL.

#* Segment Rouge (thetaR) :  $$\\theta_R = 2\\pi \\times \\frac{139}{227} \\approx \\mathbf{3.847\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{220.35^\\circ})$$
#* Segment Vert (thetaV) :  $$\\theta_V = 2\\pi \\times \\frac{69}{227} \\approx \\mathbf{1.910\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{109.43^\\circ})$$
#* Segment Bleu (thetaB) :  $$\\theta_B = 2\\pi \\times \\frac{19}{227} \\approx \\mathbf{0.526\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{30.13^\\circ})$$
#* Segment Noir (thetaN) :  $$\\theta_N = 2\\pi \\times \\frac{0}{227} = \\mathbf{0\\ radians}\\ (\\mathbf{0^\\circ})$$

'''4. Le Rôle Crucial du Noir : Vers la Création du Gris'''

Ce calcul met en évidence un aspect fondamental de la synthèse additive : la nécessité du '''noir''' pour créer des teintes désaturées, comme le gris.

Un '''gris''' est une couleur composée d'intensités égales de rouge, vert et bleu, mais à un niveau de luminosité inférieur au blanc. Si l'on ne disposait que de segments de couleurs primaires pures (Rouge, Vert, Bleu) et que l'on les faisait tourner, on obtiendrait par synthèse additive des couleurs vives ou du blanc. Pour atteindre un gris, il faut '''réduire l'intensité lumineuse globale''' perçue par le capteur.

C'est là que le '''segment noir''' devient indispensable. Le noir absorbe la lumière et ne contribue par aucune intensité lumineuse au mélange. En incorporant des segments noirs (c'est-à-dire des zones sans émission de lumière) dans la composition de l'arc de rotation, on '''diminue la quantité totale de lumière''' qui atteint le capteur sur la durée de l'exposition. Cela &quot;dilue&quot; l'effet des couleurs vives et permet d'atteindre des niveaux de luminosité inférieurs tout en maintenant les proportions RVB nécessaires pour un gris.

'''Conclusion du chapitre :'''

Ce chapitre a fourni les outils mathématiques essentiels pour comprendre et prédire le comportement de la lumière et du mouvement en photographie. De la quantification du mouvement circulaire à la modélisation de l'intégration lumineuse pondérée, il est désormais possible d'aborder la création de couleurs complexes, comme le marron ou le gris, de manière scientifique. Il a été démontré que des éléments apparemment passifs comme le noir jouent un rôle actif crucial dans la modulation de l'intensité lumineuse perçue, ouvrant la voie à une maîtrise complète de la palette visuelle dans le flou de mouvement.

'''Chapitre 4 : La Fantascopie et le Flou Périodique : La Création d'un Arc de Cercle Parfait'''

'''1. Définir le Flou Périodique : au-delà de la simple rotation'''

Alors que les chapitres précédents ont exploré les flous continus générés par une rotation prolongée, le flou périodique relève d'une dynamique plus complexe. Le terme de '''fantascopie''', qui fait écho aux dispositifs optiques du XIXe siècle tels que le phénakistiscope, est parfaitement adapté pour décrire cet effet. Il s'agit de la création d'une image fluide à partir d'une succession de vues fixes ou, dans notre cas, de la création d'un flou continu et régulier à partir de mouvements discontinus ou répétés.

'''2. La méthode pour créer un arc de cercle parfait'''

L'objectif est d'obtenir une traînée lumineuse d'un seul et même arc de cercle de longueur L et d'angle alpha sur la photo finale. Pour y parvenir, il n'est pas nécessaire d'avoir un seul objet qui parcourt cet arc. On peut, de manière plus précise et contrôlée, utiliser la méthode de superposition suivante :

Prends un disque (ou un vinyle) sur lequel tu places 2n segments (ou arcs de cercle) identiques, où n est un nombre entier supérieur à 0.

* Chacun de ces segments a une longueur égale à la moitié de la longueur désirée, soit L/2n.
* L'angle de chacun des segments est la moitié de l'angle désiré, soit alpha/2n.

Pour que la superposition fonctionne parfaitement, il est crucial que ces 2n segments soient positionnés de manière équidistante sur la platine. Autrement dit, l'espace entre chaque segment doit être régulier.

'''3. Le mécanisme de la fantascopie par flou de mouvement'''

Lors de la prise de vue avec une longue exposition, la platine tourne. Chaque segment parcourt son arc de cercle de longueur L/2n et d'angle alpha/2n. Le capteur de l'appareil photo va enregistrer la lumière de chaque segment de manière séquentielle, de sorte que les 2n traînées lumineuses se rejoignent et se superposent sans démarcation visible. Le résultat est une traînée de flou qui apparaît comme un unique et parfait arc de cercle de longueur L et d'angle alpha.

Le choix de la puissance de 2 (n) est crucial : '''plus le nombre n est élevé''', et plus tu divises l'arc en petits segments, '''plus le flou final sera homogène et l'arc de cercle régulier'''. L'utilisation d'une infinité de segments (ntoinfty) permettrait d'obtenir un arc de cercle véritablement parfait, car les segments sont tellement petits que la traînée devient parfaitement lisse.

Ce phénomène illustre la force de la fantascopie et du flou périodique : l'illusion d'un mouvement continu et complet est créée à partir de mouvements partiels, parfaitement synchronisés par la rotation et le temps d'exposition.

'''Conclusion du chapitre :'''

La fantascopie, appliquée au flou de mouvement, démontre que la perception de la continuité visuelle peut être façonnée par la superposition de mouvements discontinus. En utilisant une méthode de division du mouvement en 2n segments, nous pouvons créer une traînée de flou unique et régularisée. Cette approche permet de maîtriser précisément l'esthétique du flou de mouvement, transformant un mouvement périodique en une composition visuelle unifiée, ce qui est particulièrement puissant pour la création de motifs complexes ou d'effets visuels contrôlés.

'''Chapitre 5 : Le Flou de Mouvement d'un Objet Coloré dans un Espace 3D Projeté sur un Plan'''

'''1. La Projection du Mouvement 3D sur le Plan 2D du Capteur'''

Dans le monde réel (3D), le mouvement d'un objet est perçu différemment par un capteur photographique qui est, lui, en 2D. Cette projection est la base de notre analyse. Le flou n'est pas une simple traînée ; c'est la trace du mouvement de l'objet, telle qu'elle a été &quot;écrasée&quot; et enregistrée sur une surface plane. La forme et la direction de cette traînée dépendent de l'angle et de la vitesse de l'objet par rapport à l'appareil photo.

'''2. L'Impact de la Profondeur sur le Flou de Mouvement'''

La profondeur (la dimension Z dans l'espace 3D) joue un rôle crucial. Pour un même mouvement angulaire, un point plus proche de l'appareil photo (petit rayon) se déplace sur une distance linéaire plus courte qu'un point plus éloigné (grand rayon). En conséquence, le flou de mouvement d'un objet 3D en rotation, comme un cylindre, n'est pas uniforme. Il sera plus court et moins prononcé près de l'axe de rotation et s'étirera en une bande linéaire plus longue et plus floue à mesure que l'on se rapproche du bord.

'''3. Couleurs et Formes 3D dans le Flou : Une Synthèse Complexe'''

Lorsque des couleurs sont ajoutées à un objet 3D en rotation, elles se comportent de manière plus complexe que sur un simple disque plat. Elles s'étirent, se superposent et se mélangent en fonction de leur position sur l'objet et de la manière dont la lumière les frappe et se réfléchit. Ce mélange donne naissance à des dégradés de couleurs qui ne sont pas de simples arcs de cercle, mais peuvent former des bandes de couleurs plus complexes sur le plan photographique.

'''4. Le Flou d'un Cylindre Coloré en Rotation et l'Analogie du Satellite Géostationnaire'''

En complément de l'approche décrite au Chapitre 3, une analogie conceptuelle permet d'appréhender le flou d'un cylindre en rotation de manière inédite. On peut imaginer le photographe comme un &quot;satellite géostationnaire&quot; par rapport au cylindre en rotation. Dans ce scénario, sa vitesse angulaire relative par rapport à la surface du cylindre serait nulle. Par conséquent, la vitesse angulaire (omega) sur la surface, dite &quot;absolue&quot;, est égale à la vitesse angulaire de rotation du cylindre lui-même.

Cette perspective offre une méthode directe pour calculer les paramètres de la prise de vue. Pour déterminer le temps d'exposition afin de créer un flou de mouvement avec des traînées linéaires colorées, on utilise la même méthode de calcul que celle décrite au Chapitre 3. La formule de base est :

Deltatheta=omegatimesDeltat

Dans cette formule, l'angle de flou (Deltatheta) est exprimé en radians et la vitesse angulaire (omega) en radians par seconde.

L'élément le plus novateur de cette approche est que la '''longueur de la bande linéaire de flou est directement proportionnelle au diamètre du cylindre'''. Ce lien direct entre la géométrie de l'objet et le résultat photographique sur le plan 2D du capteur permet de relier les paramètres de la prise de vue à la taille de l'effet visuel désiré. Cela ouvre la voie à un contrôle précis pour &quot;peindre&quot; des dégradés de couleurs linéaires par le mouvement rotatif d'un objet 3D.

'''5. Le Flou des Villes depuis un Satellite Non-Stationnaire et la Vitesse Relative'''

La compréhension du flou de mouvement devient encore plus complexe et riche lorsque l'observateur (le photographe) est lui-même en mouvement. Un cas d'étude fascinant est la photographie de la Terre depuis un satellite en orbite basse (LEO), qui n'est pas stationnaire.

Dans cette configuration, l'effet de flou n'est pas le résultat de la rotation de la Terre seule, mais de la '''vitesse angulaire relative''' entre le satellite et la surface de la planète. L'analyse de cette vitesse est cruciale.

* '''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s.
* '''Vitesse angulaire d'un satellite en orbite basse (omegaLEO) :''' Un satellite en orbite LEO (environ 90 minutes par tour) a une vitesse angulaire d'environ 1.16times10−3 rad/s.

Puisque le satellite et la Terre tournent dans le même sens, la vitesse angulaire effective est la différence entre les deux :

omegarelative=omegaLEO−omegaTerreapprox1.09times10−3textrad/s

Calcul du temps d'exposition pour un quart de tour de flou :

En appliquant la même formule du Chapitre 3 (Δt = Δθ / ω), pour obtenir un flou de fracpi2 radians (un quart de tour), le temps d'exposition nécessaire serait :

Deltat=fracpi/21.09times10−3approx1441textsecondes

Soit environ 24 minutes.

Ce calcul démontre que la vitesse angulaire relative, beaucoup plus rapide que la simple rotation de la Terre, réduit considérablement le temps d'exposition nécessaire pour obtenir un flou équivalent. L'analyse de ces dynamiques, notamment via les coordonnées ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed), permet de créer des traînées lumineuses directionnelles d'une précision remarquable, révélant de manière visuelle la vitesse relative entre le satellite et la surface en rotation.

'''Exemple de Calcul : Temps d'exposition depuis la Lune pour un quart de tour de la Terre'''

Dans ce cas, l'observateur (le photographe sur la Lune) et la Terre sont tous deux en mouvement. La vitesse angulaire qui détermine le flou de mouvement est la vitesse angulaire relative entre la Terre qui tourne sur elle-même et la Lune qui tourne autour de la Terre.

# [[Fichier:Intégrale d'un volume d'un cylindre.jpg|vignette|calcul intégral du volume d'un cylindre comme dans un scanner]][[Fichier:Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions.jpg|droite|600x600px|Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions]]'''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s.
# Vitesse angulaire de la Lune (omegaLune) : La Lune effectue une orbite complète en environ 27,32 jours.   omegaLune=frac2pitextradians27.32textjourstimes86400texts/jourapprox2.66times10−6textrad/s
# Vitesse angulaire relative (omegarelative) :  La Terre et la Lune tournent dans le même sens. La vitesse angulaire relative de la Terre vue depuis la Lune est la différence entre leurs vitesses :  omegarelative=omegaTerre−omegaLuneapprox(7.27times10−5)−(2.66times10−6)approx7.00times10−5textrad/s
# Calcul du temps d'exposition (Deltat) pour un quart de tour de flou (fracpi2 radians) :   Deltat=fracDeltathetaomegarelative=fracpi/2textradians7.00times10−5textrad/sapprox22439textsecondes   Soit environ 6 heures et 14 minutes.

'''Conclusion du chapitre 5 :'''

Ce chapitre a démontré comment le flou de mouvement, loin d'être un simple artefact photographique, devient un puissant outil d'analyse et de création lorsque le sujet est en 3D. De la projection d'un mouvement rotatif sur un plan 2D, nous avons exploré des dynamiques complexes, comme l'analogie du photographe &quot;géostationnaire&quot; par rapport à un cylindre, qui lie de manière élégante le diamètre de l'objet à la longueur de la traînée de flou linéaire. Le calcul du temps d'exposition à la vitesse de la Terre, comparé à la prise de vue depuis un satellite en orbite basse ou la Lune, a mis en évidence le rôle critique de la '''vitesse angulaire relative'''. En fin de compte, la maîtrise de ces principes géométriques et cinématiques permet de transcender la simple capture du mouvement. Elle ouvre des perspectives fascinantes pour contrôler précisément la forme, la durée et l'intensité des traînées lumineuses, transformant le mouvement invisible en une composition visible et signifiante. Le flou de mouvement devient ainsi un langage visuel qui raconte l'histoire du temps et de la vitesse.

[[Fichier:Surface curviligne.jpg|800x800px]]
[[Fichier:Deplacement autour d'une sphère.jpg|vignette|Calcul intégral du déplacement entre deux points dans une sphère issu du rayon*angle en radians]]
[[Fichier:Rayon d'un disque contenant un carré de coté a.jpg|vignette|Rayon d'un disque contenant un carré de coté a par un calcul intégral issu du rayon * angle en radians]]

[[Fichier:Dualité de 2 vecteurs orthogonaux et leur aire.jpg|600x600px]]
[[Fichier:Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux.jpg|bordure|gauche|640x640px|Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux et coplanaires]]
== Le flou stroboscopique ==
[[Fichier:Flou stroboscopique typographie kinematic.mpg|vignette|Kinematic de typographie stroboscopique]]
Le flou stroboscopique est un flou cinétique radial en photographie où on synchronise la vitesse d'obturation d'un appareil photographique avec celle d'une platine de tourne disque pour obtenir l'angle radial.
[[File:Temps angulaire.jpg|thumb|Temps angulaire]]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Flou_stroboscopique_typographie_kinematic.mpg
;[[Fichier:Longueur d'un vecteur dans une sphère avec angle en radians.jpg|480x480px]][[Fichier:Anneau 60 -16.gif|vignette|tableau anneau RVB flou stroboscopique numérique ]][[Fichier:Intégrale matrice de rotation pour obtenir le tracé.jpg|vignette|Développement matrice de rotation]]
;*Fonction angulaire calculée d'après la formule '''''tempsdepause(pi/4;45tr/mn)=1/6s'''''
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t(θ) = exp[(4θ-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
::t(0)= &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;exp[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
;*Dérivée
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t'(θ) = exp[1&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;4/24]/6 = exp[1/6]/6&lt;/span&gt;
;*Linéarisation du temps de pause t&lt;math&gt;_\theta&lt;/math&gt;par rapport à l'angle &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;=&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;exp[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24)]/6&lt;/span&gt;
:::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;&lt;math&gt;_\theta&lt;/math&gt; &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;= t&lt;/span&gt;&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\exp(it)&lt;/math&gt;&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;= &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;math&gt;_0&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(cos(t)̹̹&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;isin(t))&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;= &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;[(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;)/24]/6&lt;/span&gt; &lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(cos(t)̹̹&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;isin(t))&lt;math&gt;^2&lt;/math&gt;&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;&lt;math&gt;^\pi&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;
;*Primitive
::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;T(θ) = (1/12)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(1/6)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;θ² + (1/6)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/24)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;θ + (&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/3)&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;(exp(-&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;/24)+&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;math&gt;*&lt;/math&gt;exp(1/6))

;* Fonction inverse

::&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t-¹(θ) = t(&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;-3)&lt;/span&gt;
::
::Exemple de ce qu'on peut faire avec la vitesse angulaire d'après le théorème de l'addition des vitesses de la mécanique relativiste d'Albert Einstein, la sonde pitot numérique:
:[[Fichier:Formule ads b.jpg|vignette|Vitesse_sol= intégrale de l'accélération d'un avion pendant une période de temps= vitesse_air - vitesse_vent_altitude]]&lt;math&gt;Vitesse sol= \sqrt{((-(vitesse angulaire de larotation de la terre)*secondes(TempsB- tempsA)+  \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)}))^2+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)&lt;/math&gt;
:[[Fichier:Trajectoire d'un vol autour d'une sphère.jpg|vignette|schéma vitesse sol calculée avec somme vectorielle des arcs de cercle d'une trajectoire d'un vol au dessus d'une sphère en rotation avec les coordonnées gps par rapport au centre de la sphère.]]
:exemple :
:pour New York Paris on parcourt 7522,12296600851 km en 7h15 dans le sens de la rotation de la terre
:vitesse sol = (3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))÷(7×3600+15×60) =1037,53420220807 km/h
:et elle perdra une masse = (((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(7×3600+15×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(7×3600+15×60)^2)))*0,5/9,81 = 10984,7217977056 kg  soit pour le trajet 8787,77743816448 litres de kérosène à une vitesse de 1037 km/h.
:[[Fichier:Vitesse du vent.jpg|vignette|Intrication de la vitesse sol et de la vitesse du vent]]
:pour paris New York on parcourt 7897,49588493335 km en 8h30 dans le sens contraire de la rotation de la terre
:vitesse sol=(3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))÷(8×3600+30×60)=929,117162933335 km/h
:et elle perdra une masse =  (((6371000+11000))^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(8×3600+30×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(8×3600+30×60)^2)))*0,5/9,81= -9896,09159159012 kg soit pour le trajet 7916,8732732721 litres de kérosène à une vitesse de 929 km/h .
:
:Donc un vol aller pour Paris depuis New York consomme plus en carburant qu'un vol retour pour New York depuis Paris
« Ce n'est pas le Soleil qui tourne autour de la Terre, 

c'est la Terre qui tourne autour du Soleil,

Et pourtant la Terre elle tourne sur elle-même,

c'est pour cela qu'elle est ronde… »

Par cette formule pour un vol New York - Paris à 4000 m au-dessus de la mer et à 630,6 hectoPascal pour -8,5°°, un avion A320 de 76,4928 tonnes avec un angle d'horizon artificiel de -1,566923607° qui mettra 7h15 aura une vitesse moyenne de {{Unité|807.244837279434|km/h}} comme les distances en avion rallongent et consommera une valeur énergétique de 1,92307451971865 Gigajoules  contre 1,63767263702058 Gigajoules  pour le vol retour Paris New York d'une durée de 8h30 à une vitesse de {{Unité|744.9390928139391|km/h}} et avec un angle d'horizon artificiel de -1,567222514° comme les distances raccourcissent avec la terre qui tourne sur elle-même selon la relativité d'Albert Einstein

Si la Terre était complètement sphérique et bien lisse il faudrait 3,651898169 jours pour qu'un ballon de basket roulant à {{unité|314662.519|km/h}} fasse le tour de la Terre en passant par les pôles.
[[Fichier:Equation courbe geodesique coordonnées ECEF systeme WGS84.jpg|vignette|'''Équation courbe géodésique coordonnées ECEF système WGS84''']]

Masse d'un avion en vol=(Masse volumique de l'atmosphere)*Altitude*Surface ventrale*Cx du fabricant
[[Fichier:Coordonées ECEF systeme WGS84 d'une courbe geodesique.jpg|vignette|Coordonnées vecteurs et d'un point M d'une courbe géodésique]]


&lt;math&gt;Masse avion=\left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;Horizon artificiel=\arctan \left (\frac{ \left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx*g}{ \sqrt{\mid vitesse angulaire de larotation de la terre * \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)} \mid+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)} \right)

&lt;/math&gt;

Masse de la lune=384399000*PI*1737400^2*0,5=1,822643624*10^21 kg

Masse volumique du vide sidéral aux alentours de la Lune=40,38090554 kg/m^3 nettement inférieur à la masse volumique de l'eau(997kg/m^3) et légèrement supérieur à la masse volumique de l'air (1,2kg/m^3)


&lt;math&gt;Masse d'un photon=\frac{ConstantedePlanck*frequenceduphoton}{vitessedelalumieredanslevide^2}&lt;/math&gt;

masse d'un photon orange déplaçant une minuscule masse d'air à la vitesse de la lumière=1,491520911*10^-36 kg

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;Frequence d'un photon=\left ( \frac{vitessedelalumieredanslevide}{(Constante de Gladstonedale*masse volumique de l'air +1)*longueur d onde du photon } \right )
&lt;/math&gt;

fréquence d'un photon orange= 202,30876655  THertz

&lt;math&gt;Intensite d'un photon derriere une epaisseur=Intensite devant*\exp\left ( \frac{-4\pi*Cste de GladstoneDale*epaisseur en cm}{longueurdonde du photon} \right )&lt;/math&gt;

Soit pour un photon orange d'intensité 1KiloWatt devant aura derrière une épaisseur de 1 nanomètre d'air une intensité lumineuse de 76,9026362586509 Watts

ex vitesse orbitale de la lune par rapport à la vitesse de rotation de la terre =(RACINE(ABS(0,00007292115×RADIANS(185−187)÷(420))+PUISSANCE(RADIANS(22−22)÷(420);2)))×(383623000)*3,6={{Unité|107513.482389629|km/h}}

En python pour déterminer instantanément la vitesse d'un point par rapport à la terre on fait le programme suivant en faisant l'analyse du champ lexical séparé par une virgule de deux trames GNGGA précédente et suivante et où on fait comme sur une feuille de calcul la formule dans une boucle tant qu'en accédant aux valeurs du dictionnaire pour les longitudes, latitudes, altitudes et le temps:

&quot;&quot;&quot; GNGGA

Compteur de vitesse par rapport au mouvement de rotation de la terre

&quot;&quot;&quot;

import serial

import math

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Set up serial:

ser = serial.Serial(

    port='/dev/ttyACMx',\

    baudrate=9600,\

        timeout=1)

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Helper function to take HHMM.SS, Hemisphere and make it decimal:

def degrees_to_decimal(data, hemisphere):

    try:

        decimalPointPosition = data.index('.')

        degrees = float(data[:decimalPointPosition-2])

        minutes = float(data[decimalPointPosition-2:])/60

        output = degrees + minutes

        if hemisphere == 'N' or hemisphere == 'E':

            return output

        if hemisphere == 'S' or hemisphere == 'W':

            return -output

    except:

        return &quot;&quot;

    
def parse_GNGGA(data):

    data = data.split(',')

    dict = {

            'fix_time': data[1],

            'latitude': data[2],

            'latitude_hemisphere' : data[3],

            'longitude' : data[4],

            'longitude_hemisphere' : data[5],

            'fix' : data[6],

            'sat' : data[7],

            'dop' : data[8],

            'altitude' : data[9],

            'unit_alt' : data[10],

            'WGS84' : data[11],

            'unit_wgs84' : data[12],

            'vide' : data[13],

            'checksum' : data[14]

   
            }

   
    dict['decimal_latitude'] = degrees_to_decimal(dict['latitude'], dict['latitude_hemisphere'])

    dict['decimal_longitude'] = degrees_to_decimal(dict['longitude'], dict['longitude_hemisphere'])

    return dict

    
&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt; Main program loop:

gpsDataB = None

speedA= 0.0   

masse= 90.0

while True:

 
    line = str(ser.readline())

    
    if &quot;b'$GNGGA&quot; in line :

        gpsDataA = parse_GNGGA(line)

        
        if gpsDataB is not None:

           
            AltA= float(gpsDataA.get('altitude'))

            AltB= float(gpsDataB.get('altitude'))

            LonA=float(gpsDataA.get('decimal_longitude'))

            LonB=float(gpsDataB.get('decimal_longitude'))

            LatA=float(gpsDataA.get('decimal_latitude'))

            LatB=float(gpsDataB.get('decimal_latitude'))

            tempsA=float(gpsDataA.get('fix_time'))

            tempsB=float(gpsDataB.get('fix_time'))

            speed =3.6*(3781009 + AltB+ abs(AltA - AltB) * (math.sqrt(((- 0.00007292115 + (math.radians(LonA- LonB)/(tempsA-tempsB))))**2 +(math.radians(LatA - LatB)/(tempsA-tempsB)) ** 2))  

energie=0.5*masse/(3.6**2)*(speed ** 2 - speedA ** 2) 

            print(&quot;vitesse = {}&quot;.format(speed))

print(&quot;Joules = {}&quot;.format(energie))

            speedA = speed      

        gpsDataB=gpsDataA


Par produit en croix de  Masse de la Terre ⇒ Rayon moyen de la Terre * vitesse angulaire de la rotation de la Terre

Masse de la Lune ⇒ Rayon moyen de la Lune * vitesse angulaire de la rotation de la Lune

On peut déterminer la masse de la Lune*(6371,009*7,292115*0,00001*3600)= 5,973 6 × 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; &lt;abbr&gt;kg*&lt;/abbr&gt;1 737,4 &lt;abbr&gt;km*2*PI/&lt;/abbr&gt;27,321 582/24

Masse de la Lune= 5,943117086*10^21Kg

=== Démonstration ===
[[Fichier:Abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]]
[[Fichier:Flou stroboscopique de l'abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]]
[[Fichier:Cylindre rvb.webm|vignette|synthèse additive sur un cylindre qui tourne avec blender]]
[[Fichier:BeansRVB.webm|vignette|Cylindre déformé RVB]]
{| class=&quot;wikitable&quot;
|Produit matriciel
|(1/2^n;1/2^n) où n est le degré d’optimisation
|-
|(Vitesse d’ouverture pour une synthèse additive d’un groupe de couleurs RVB; angle n*alpha avec n&gt;0)
|(Vitesse d’ouverture de l’appareil photo; angle alpha)
|}
[[Fichier:Integrale flou stroboscopique.jpg|vignette|Integrale flou stroboscopique]]
[[Fichier:Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre.jpg|vignette|Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre]]
Soient &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ = ωt et ω = 2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f&lt;/span&gt;, où &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;θ&lt;/span&gt; est un angle en radians, &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;f&lt;/span&gt; la fréquence de la platine en tours par minutes et &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t&lt;/span&gt; le temps en secondes.
*On fait correspondre &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;ω = 2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f&lt;/span&gt; et &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;ω = θ/t&lt;/span&gt;, d'où &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f = θ/t&lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;.
*On simplifie : &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = θ/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f).
*On convertit &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;f&lt;/span&gt; en tours par seconde et on obtient &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = θ/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f)/60)&lt;/span&gt;, d'où : &lt;span style=&quot;font-family:Times; font-size:1.2em;&quot;&gt;t = (60 &lt;math&gt;*&lt;/math&gt; θ)/(2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;f)&lt;/span&gt;.

pour n=0

Sur un disque tournant sur une platine, on obtient une vitesse d'ouverture de l'appareil photo de :
&lt;blockquote style=&quot;text-align:center; font-size:1.2em;&quot;&gt;
&lt;math&gt;Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \  tours \ platine \ par \ minute \ * \ 2 \pi)&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;
[[Fichier:Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque.jpg|vignette|'''Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque''']]
[[Fichier:Signatures stroboscopiques.jpg|vignette|Clef publique obtenue avec un flou cinétique circulaire d'angle 150° grâce à une clef privée pour des signatures stroboscopiques.]]
[[Fichier:Générer une clef publique sans clef privée.jpg|vignette|Générer une clef publique sans clef privée]]
[[Fichier:Dechiffrement d'une clef stroboscopique.jpg|vignette|Déchiffrement d'une clef privée à partir d'une clef publique connaissant son angle de flou cinétique circulaire]]
[[Fichier:Dechiffrement image floutée circulairement avec 3 angles.jpg|vignette|Déchiffrement image floutée circulairement avec 3 angles]]
[[Fichier:Figer et flouter digitalement une figure en rotation.jpg|vignette|Figer et flouter digitalement une figure en rotation]]
[[Fichier:Flou-et-figeage deflou.jpg|vignette|Flou et figeage de flou + padding et intégrale]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Rose - 1.jpg|Rose en flou stroboscopique à l'arrêt
Rose-2.jpg|Rose en flou stroboscopique en rotation
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Galaxie - 1.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque à l'arrêt
Galaxie - 2.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque en rotation
&lt;/gallery&gt;
[[Fichier:Perroquet à l'arret.jpg|vignette]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|Platine à l'arrêt
Flou cinétique sur vinyle.JPG|Platine en mouvement :&lt;br /&gt;78 tours/mn,&lt;br /&gt;vitesse d'ouverture 1/15 s,&lt;br /&gt;angle &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6|alt=Platine en mouvement :78 tours/mn,vitesse d'ouverture 1/15 s,angle π/6
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Sextuple spirale réedition à l'arrêt.jpg|Sextuple spirale, réédition à l'arrêt
Sextuple spirale réedition en mouvement.jpg|Sextuple spirale, réédition en mouvement
&lt;/gallery&gt;
[[Fichier:Perroquet en mouvement.jpg|vignette]]

=== Table stroboscopique ===
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;
|-	
! angle !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 !! &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 || &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; !! 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
|-	
!  33 tr/mn
|0,1515151515 || 0,2272727273 || 0,303030303 || 0,4545454545 || 0,9090909091 || 1,8181818182	
|-	
! vitesse
| 1/6 s || 1/5 s || 0,3 s || 0,5 s || 1 s || 2 s	
|-	
! 45 tr/mn
| 0,1111111111 ||'''0,1666666667'''|| 0,2222222222 || 0,3333333333 || 0,6666666667 || 1,3333333333 	
|-	
! vitesse
| 1/10 s ||'''&lt;u&gt;1/6 s&lt;/u&gt;'''|| 1/5s || 0,3s || 0,6s || 1,3s	
|-	
! 78 tr/mn
| 0,0641025641 || 0,0961538462 || 0,1282051282 || 0,1923076923 || 0,3846153846 || 0,7692307692	
|- 	
! vitesse
| 1/15s || 1/10s || 1/8s || 1/5s || 0,4s || 0,8s	
|}

=== Expériences ===
{| align=&quot;right&quot;
|-
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newton à l'arrêt]] || [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|Prisme à 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
|}
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;150px&quot;&gt;
Disque_de_newton_permuté.jpg|Modèle de disque de newton permuté
Rotation_disque_de_newton_permuté_pour_chaque_couleur.jpg|Disque de Newton permuté à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/7 pour chaque flou visible sur chaque flou visible Rouge Orange Jaune Vert Bleu Indigo Violet
Angle_permutation_couleurs.jpg|Angle des couleurs flou visibles sur autre couleurs de flou visible
&lt;/gallery&gt;
Et on obtient par un système de 6 équations à 7 inconnues pour chaque angle par rapport à une couleur :
{|
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;
|- style=&quot;font-variant:small-caps;&quot;
! Vert !! jaune !! orange !! rouge !! violet || indigo !! bleu !! blanc	
|- style=&quot;height:20px;&quot;
| style=&quot;background-color:green;&quot;| || style=&quot;background-color:yellow;&quot;| || style=&quot;background-color:orange;&quot;| || style=&quot;background-color:red;&quot;| || style=&quot;background-color:purple;&quot;| || style=&quot;background-color:indigo;&quot;| || style=&quot;background-color:blue;&quot;| || style=&quot;background-color:white;&quot;|
|-	
| 25|| 80|| 35|| 50 ||60||35||75 || 360	
|-	
| 50|| 65|| 70|| 60 ||30||20||65 || 360
|-	
| 35|| 75|| 80|| 45 ||50||20||55 || 360	
|-
| 45|| 80|| 70|| 60 ||45||20||40 || 360
|-
| 60|| 60|| 40|| 50 ||20||40||90 || 360
|-	
| 40|| 60||50|| 40||60||30||80 || 360	
|-
| 360|| 360|| 360|| 360 ||360||360||360 || 360
|}
| style=&quot;padding-left:20px;&quot;|
&lt;br /&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|
&lt;poem&gt;
&lt;span style=&quot;color:#fff;&quot;&gt;+ &lt;/span&gt;Vert = 4,200764818
+ Jaune = 5,990439771
+ Orange = –1,833652008
+ Rouge = –2,728489484
+ Violet = 0,575525813
+ Indigo = –8,304015296
+ Bleu = 3,099426386
&lt;/poem&gt;
|}
[[File:Dégradé.jpg|thumb|Dégradé de flou de couleurs de base]]
|}
[[Fichier:Lunette periscopique pour vision 1-4.jpg|vignette|Schémas optique d'une vue dans un champ visuel de PI/2 élargi 3 fois avec des miroirs]]
[[Fichier:Dégradé linéaire.jpg|vignette|Dégradé linéaire d'après dégradé circulaire photographique]]

=== Disque de Newton en RVB ===
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;150px&quot;&gt;
Disque de Newton en spirale.jpg|Disque aux couleurs de Newton&lt;br /&gt;en vue d'obtenir du blanc
Blanc du disque de Newton lumière blanche.jpg|Blanc du disque de Newton&lt;br /&gt;en spirale avec une lumière blanche
Violet du disque de Newton en lumière ultraviolette.jpg|Violet du disque de Newton&lt;br /&gt;en spirale avec une lumière ultraviolette
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;220px&quot;&gt;
Disque de newton rvb.jpg|Disque de Newton en RVB à l'arrêt
Disque de newton rvb pi sur2.jpg|Angle de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2, 33 tr/mn, flashé à 0,5 s
Disque de newton rvb 2pi.jpg|Angle de 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;, 33 tr/mn, flashé à 2 s
&lt;/gallery&gt;

== Synthèse additive ==
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;180px&quot;&gt;
Table des couleurs en peinture acrylique.JPG|Table des couleurs&lt;br /&gt;en peinture acrylique
Blanc UV synthèse additive RVB.webm|Blanc UV synthèse additive RVB
Synthese_additive_flou_stroboscopique_RVB.jpg|Synthèse additive aux couleurs RVB&lt;br /&gt;sur un disque circulaire
Resultat_de_la_synthese_additive_flou_stroboscopique.jpg|Résultat de la synthèse additive&lt;br /&gt;45 tr/mn&lt;br /&gt;Angle de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2&lt;br /&gt;flashé 0.3s
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Produit Matriciel
!(R/B)*Alpha* V/(R+V+B)
!Alpha* V/(R+V+B)
!(B/V)*Alpha* V/(R+V+B)
|-
|(Rouge; Vert; Bleu; angle Alpha)
| colspan=&quot;3&quot; |Angle pour chaque valeur RVB différentes par dichotomie 
|-
|ex Bleu roi (49;140;231; 45°)
|5,25° de rouge
|15° de vert
|24,75° de bleu
|-
|
|
|
|
|}
[[Fichier:Clown dichotomie.jpg|vignette|méthode de coloriage par dichotomie]]
[[Fichier:Clown de face.jpg|vignette|synthèse additive du coloriage par dichotomie 1/6s 45t pi/2]]
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;160px&quot;&gt;
Synthese additive flou stroboscopique 0.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique 0
Synthese additive flou stroboscopique pi.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
Synthese additive flou stroboscopique 2PI.jpg|Synthèse additive&lt;br /&gt;flou stroboscopique 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
Disque couleurs additives.webm|Disque couleurs additives
&lt;/gallery&gt;

== En flou stroboscopique ==
En flou stroboscopique, on peut reproduire la synthèse additive avec un appareil photographique : c'est le phénomène de la lumière réfléchie comme de la lumière projetée sur un écran et surtout moins nocive pour la santé. On peut vérifier aussi la synthèse additive des couleurs sur le disque en le fixant sur un ventilateur, par exemple, où elle sera visible à vision humaine mais ne le sera pas sur une caméra.
{| align=&quot;center&quot;
|-
|[[Fichier:Synthèse_additive_par_lumière_réflechie_sur_un_disque_tournant_à_45tr_minute.jpg|250px]]
|
[[Fichier:Couleurs_sur_un_disque_à_l'arrêt_pour_une_synthèse_additive_par_lumière_réflechie.jpg|250px]]
|- valign=&quot;top&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center&quot;
| Synthèse additive par lumière réfléchie&lt;br /&gt;sur un disque à 45 tr/mn || Couleurs sur un disque à l'arrêt&lt;br /&gt;pour une synthèse additive&lt;br /&gt;par lumière réfléchie
|}

== Diagramme de Venn des couleurs synthèse additive étendues ==
[[File:Gamme de gris.webm|thumb|Gamme de gris]]
[[File:Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert]]
[[File:Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu]]
[[File:Disque synthèse additive étendue( Cuivre, lavande, saumon et or).webm|thumb|Disque synthèse additive étendue (cuivre, lavande, saumon et or)]]
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Diagramme de Venn des couleurs étendues de la synthèse additive par lumière réfléchie ''(survolez l'image)''&quot;&gt;
Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_à_l'arrêt.jpg|&lt;small&gt;Pour faire du gris anthracite, blanc crème et bleu maya&lt;/small&gt;
Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_en_mouvement.jpg|&lt;small&gt;Gris anthracite, blanc crème et bleu maya&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Production du orange cassis et jaune par synthèse additive de lumière réfléchie&quot;&gt;
Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_1.jpg|&lt;small&gt;Partie 1&lt;/small&gt;
Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_2.jpg|&lt;small&gt;Partie 2&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;gallery mode=&quot;packed-hover&quot; heights=&quot;280px&quot; caption=&quot;Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent)&quot;&gt;
Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque immobile.jpg|&lt;small&gt;À l'arrêt&lt;/small&gt;
Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque en rotation.jpg|&lt;small&gt;En mouvement&lt;/small&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Théorie de l'absorption et de la réflexion de la lumière par les surfaces colorées ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
| [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]]
| [[Fichier:Nuancier stroboscopique.JPG|220px]]
| [[File:Fond chromatique.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Vitraux || Fond gris || Nuancier stroboscopique&lt;br /&gt;sur fond chromatique || Stroboscopie de disque&lt;br /&gt;aux couleurs chromatiques
|}
=== Flou stroboscopique sculpté ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Modele de flou stroboscopique sculpte.JPG|232px]]
| [[Fichier:Flou stroboscopique sculpté.JPG|520px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Modèle de flou stroboscopique sculpté || Flou stroboscopique sculpté
|}
=== Flou cinétique radial ===
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Stroboscopie de Jimi Hendrix.JPG|220px]]
| [[Fichier:Flou stroboscopique.jpg|330px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Stroboscopie à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 || Retouche d'image faite à la main
|}
==== Effet bras de levier  ====
Dans le flou stroboscopique, l'effet bras de levier consiste, en diminuant l'angle de rotation avec une vitesse stroboscopique plus élevée, à éloigner du centre le flou vers l’extérieur et avoir un centre plus net.
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;160px&quot;&gt;
Stroboscopie circulaire à 0,05s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,05 s
Stroboscopie circulaire à 0,033s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,033 s
Stroboscopie circulaire à 0,016s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,016 s
Stroboscopie circulaire à 0,00625.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,00625 s
Stroboscopie circulaire à 0,0025.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,0025 s
&lt;/gallery&gt;
==== Le flou stroboscopique rectiligne  ====
À plus grande échelle, le mouvement circulaire devient rectiligne et on obtient du flou stroboscopique rectiligne.

Ceci est la preuve que quel que soit la masse de la goutte d'eau en chute libre, un corps tombe à la même vitesse.
[[Fichier:Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s.JPG|thumb|center|upright=1.5|Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s]]
==== Retranscription du son par la couleur  ====
{| align=&quot;center&quot; style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;&quot;
|- align=&quot;center&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''When The Saints Go Marching In''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:When The Saint Go Marching In - Partition - Flou Stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:When The Saint Go Marching In - PLAY - Flou Stroboscopique.JPG|495px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%;&quot;
| Partition en spirale&lt;br /&gt;pour Flou Stroboscopique&lt;br /&gt;Chaque couleur représente&lt;br /&gt;une note selon sa longueur d'onde
| Joué en Flou Stroboscopique en &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2&lt;br /&gt;pour faire une mesure à 4 temps
|}
*Le flou stroboscopique est un flou visible produit par l'effet d'un mouvement périodique d'un ou plusieurs points sur un disque capté lors de la prise de vue :
&lt;blockquote style=&quot;text-align:center; font-size:1.2em;&quot;&gt;
&lt;math&gt;Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ * \ 2 \pi)&lt;/math&gt;
&lt;/blockquote&gt;
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; border:1px solid #a2a9b1; margin-top:25px;&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|220px]]
| [[Fichier:Flou cinétique sur vinyle.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitraux éclairée.JPG|220px]]
| [[Fichier:Suites de segments et d'hexagones traduites en flou stroboscopique.JPG|495px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot;
| Spirales sextuples, intervalle de 30°&lt;br /&gt;6 couleurs peintes sur vinyle&lt;br /&gt;Platine à l'arrêt
| 78 tours pour obtenir un flou visible&lt;br /&gt;Vitesse d'ouverture photo : 1/15s
| 78 tours 30° 1/15s
| 78 tours 30° 1/15s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;background-color:#f6f6f6;font-size:90%; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]]
| [[Fichier:Stroboscopie à 360° d'une suite de spirales aux couleurs chromatiques.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot; align=&quot;center&quot;
| Vitraux sur fong gris&lt;br /&gt;pour flou stroboscopique
| 78tours 1/15s 30°
|Stroboscopie à 1.3 et 45 tr/mn&lt;br /&gt;pour faire un tour complet&lt;br /&gt;soit 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;
|}
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; heights=&quot;250px&quot;&gt;
Stroboscopie photographique d'un mouvement circulaire à 0,016s.jpg|Cascade
Zen architectural.JPG|Flou stroboscopique fait main&lt;br /&gt;Made in France
D Day.xcf|Decopatch stroboscopique
Robinson Crusoé.JPG|Flou stroboscopique de poster
&lt;/gallery&gt;
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[Fichier:Vertigo Building.JPG|thumb|Photographie de Lewis W. Hine stroboscopiée à l'artisanale]]
| [[Fichier:Volant à droite.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]]
| [[Fichier:Volant à gauche.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]]
|}
&lt;div style=&quot;float:center; width:440px; margin:auto; text-align:center;&quot;&gt;
[[Fichier:Airbourn stroboscopié.JPG|220px]][[Fichier:Iron Maiden stroboscopié.JPG|220px]]&lt;br /&gt;Sonisphere
&lt;/div&gt;
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;bottom&quot;
|Disque original entre les mains du parquet de Paris[[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newston à l'arrêt]]
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 0pi.JPG|thumb|upright=2.2|Stroboscopie du Disque de Newton à vitesse proche du 0 &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
| [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|À vitesse proche du 2 &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;]]
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; margin-bottom:25px;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#ffffe0&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''My Way''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:My Way-source-flou stroboscopique.JPG|300px]]
| [[File:My Way 33 3 3.JPG|300px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition lumineuse&lt;br /&gt;Formatage en &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3&lt;br /&gt;avec 8 octets sur 5 pistes
| Jouée en 33  tr/mn&lt;br /&gt;Rotation de &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 en 0,3 s
|}
{| align=&quot;center&quot;
|-
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''Boléro'' de Ravel&lt;/q&gt;
|-
| [[File:Bolero-joué-flou stroboscopique.JPG|280px]]
| [[File:Partition-Bolero-Flou stroboscopique.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition&lt;br /&gt;10 secteurs de 12 octets sur 8 pistes
| Jouée en 78 tr/mn&lt;br /&gt;Prise à 1/13 s pour &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/10
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''Smile (temps modernes)''&lt;/q&gt;
|-
| [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes-partition.JPG|280px]]
| [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition&lt;br /&gt;de 72 secteurs de 4 noires sur 12 pistes
| Jouée en 33 tr/mn&lt;br /&gt;Angle &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3,  0,3 s
|}
|}
[[Fichier:Bolerovideo.webm|vignette|297px|Bolerovideo]]
{| align=&quot;center&quot;
|-
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; background-color:#ffffe0; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|-
! colspan=&quot;3&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Swanee''&lt;/q&gt; de Gershwin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique.JPG|490px]]|
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur4.JPG|220px]]
| [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur8.JPG|220px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| Partition de 96 secteurs de 4 octets sur 6 pistes
| Jouée à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4
| Jouée à &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8
|}
|}
{| align=&quot;center&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''The entertainer''&lt;/q&gt; de Scott Joplin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique.JPG|280px]]
| [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique- en mouvement.JPG|280px]]
|-
| 72 secteurs de 8 doubles croches sur 6 pistes
| Jouée en 33 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 et 1/6 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique du &lt;q&gt;''French Cancan''&lt;/q&gt; d'Offenbach
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Partition French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]]
| [[File:French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]]
|-
| 144 secteurs de 4 croches sur 12 pistes
| Jouée à 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/6 et 1/15 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#ffffe0&quot; style=&quot;font-size:90%;text-align:center; margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|-
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Lettre à Élise''&lt;/q&gt; de Beethoven
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn off.JPG|260px]]
| [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn on.JPG|585px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| 90 secteurs de 6 doubles croches&lt;br /&gt;sur 15 pistes
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/8 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de la &lt;q&gt;''Marche de Radetzky''&lt;/q&gt; de Johann Strauss
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- partition.JPG|280px]]
| [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- turn on.JPG|280px]]
|- valign=&quot;top&quot;
| 104 secteurs de 8 doubles croches,13 pistes
| Jouée à 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/10 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Habanera de Carmen''&lt;/q&gt; de Georges Bizet
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- partition.JPG|280px]]
| [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- play.JPG|280px]]
|-
| 88 secteurs sur 11 pistes 8 doubles croches
| Jouée à 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Nocturne Op. n°2''&lt;/q&gt; de F. Chopin
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-play.JPG|220px]]
|-
| 36 sect., 12 pistes, 48 triples croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''La Marseillaise''&lt;/q&gt; de Rouget de Lisle
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Partition de la Marseillaise de Rouget de Lisle en notes couleurs de l'arc en ciel.JPG|220px]]
| [[File:La Marseillaise de Rouget de Lisle jouée en flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 40 secteurs 10 pistes 1/16
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 0.3 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Effet stroboscopique de &lt;q&gt;''Pump and circumstance''&lt;/q&gt; de Edward Elgar
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar partition pour flou stroboscopique.JPG|220px]]
| [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar joué en flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 80 secteurs 10 pistes 1/4
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1.6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;&quot;
|- valign=&quot;bottom;
! colspan=&quot;2&quot;|''Lascia Ch'io Pianga'' de l'opéra &lt;q&gt;Rinaldo&lt;/q&gt; de G. F. Händel
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - partition.JPG|220px]]
| [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - play.JPG|220px]]
|- style=&quot;text-align:center; font-size:90%;&quot;
| 42 secteurs, 7 pistes, 1 croche
| Joué en 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/5 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''El condor pasa''&lt;/q&gt;
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-en mouvement.JPG|220px]]
|-
| 48 sect., 12 pistes, 16 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1,5 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''Chicken Reel''&lt;/q&gt; de Joseph M. Daly
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly (partition).JPG|220px]]
| [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly.JPG|220px]]
|-
| 52 secteurs 13 pistes 1 croche
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1/5 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|-  bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|&lt;q&gt;''L'apprenti sorcier''&lt;/q&gt; de Paul Dukas
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique-Partition.JPG|220px]]
| [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 28 secteurs 7 pistes 3 croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/2 et 1/5 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot;
|-
| style=&quot;padding-right:25px;&quot; |
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Valse n°2''&lt;/q&gt; de Dmitri Chostakovitch)
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- partition.JPG|220px]]
| [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- play.JPG|220px]]
|-
| 39 secteurs 13 pistes 12 dbles croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Le beau Danube bleu''&lt;/q&gt; de J. Strauss
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- code source.JPG|220px]]
| [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- compilé.JPG|220px]]
|-
| 345 secteurs 23 pistes 6 croches
| 33 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/15 et 1/8 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;margin-top:25px; margin-bottom:25px;&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;&quot;
|- bgcolor=&quot;#acf&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Le Lac des Cygnes''&lt;/q&gt; de P. I. Tchaikovsky
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique-partition.JPG|220px]]
| [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique.JPG|220px]]
|-
| 26 secteurs 13 pistes 8 croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; et 4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;&quot;
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Camarada Hans Beimler''&lt;/q&gt; de Ernst Busch
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique- Partition.JPG|220px]]
| [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique - RUN.JPG|220px]]
|-
| 36 secteurs 12 pistes 8 croches
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/3 et 1/4 s
|}
|
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;&quot;
|- bgcolor=&quot;#adc&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''La truite''&lt;/q&gt; de Franz Schubert
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-off.JPG|220px]]
| [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-on.JPG|220px]]
|-
| 65 secteurs 13 pistes 1 dble croche
| 78 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/5 et 1/6 s
|}
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;background-color:#ffffe0; margin-bottom:25px; font-size:90%; text-align:center;&amp;quot;&quot;
|- valign=&quot;bottom;&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |''Toccata &amp; Fugue en Ré mineur'' (Yasuo Sugiyama)
|-
| [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique-code source.JPG|300px]]
| [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique.JPG|300px]]
|-
| 60 secteurs 12 pistes 16 dbles croches
| 45 tr/mn, 2&lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/5 et 1/4 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;&quot;
|- bgcolor=&quot;#abcdef&quot;
! colspan=&quot;4&quot; |&lt;q&gt;''La Marche turque''&lt;/q&gt; de W. A. Mozart
|- bgcolor=&quot;#e1e1e1&quot;
| colspan=&quot;2&quot; |'''{{1re}} partie'''|| colspan=&quot;2&quot; |'''2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie'''
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]]
| [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique.JPG|230px]]
|-
| 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8 et 1/20 s
| 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches
| 78 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/8 et 1/20 s
|}
{| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;&quot;
|- bgcolor=&quot;#fedcba&quot;
! colspan=&quot;2&quot; |&lt;q&gt;''Hilarity Rag''&lt;/q&gt; de James Scott
|- valign=&quot;bottom&quot;
| [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- code source.JPG|240px]]
| [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- compilation.JPG|240px]]
|-
| 256 secteurs 32 pistes 1 double croche
| 45 tr/mn, &lt;big&gt;&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;&lt;/big&gt;/4 et 1/6 s
|}

{{Autres projets
  | idfaculté       =
  | b               = Photographie/Thèmes/Le flou
  | wikibooks titre = Le flou
}}</text>
      <sha1>9j9anixlc0lldve1pbojeupaaxvb1eg</sha1>
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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant</title>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */</comment>
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      <text bytes="325859" sha1="bpfzmisrp081s04z5f62p57mz4fenh1" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;

== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|135}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */</comment>
      <origin>986615</origin>
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      <text bytes="325859" sha1="el5jv6xxg49tdvxk0dfr9qxqz2vltc6" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;

== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » */</comment>
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      <text bytes="326176" sha1="eadaficxqwoo9jai7thac8z4kcshqr6" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif */</comment>
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      <text bytes="326222" sha1="fys1ysccgscatsifie58yktim8o6w4t" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du portrait de phase nettement différentes suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="326820" sha1="eht2wmaypqo1x5hzoopfhr93k9hnmg0" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif */</comment>
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      <text bytes="327096" sha1="ityk8bvxqhgc1fm7dluti7q6cllir45" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\,\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \nearrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \searrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec }}correspondant à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif */</comment>
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      <text bytes="328125" sha1="ptmvzt7wxqziitw7szk93eb64u43awp" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\,\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \nearrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \searrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec }}correspondant à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &gt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &lt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;portrait de phase }}&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, }}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et


&lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <text bytes="328286" sha1="ptw117hzvgucdi3pggc8reqkdfbno4s" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\,\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \nearrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \searrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec }}correspondant à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &gt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &lt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;portrait de phase }}&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, }}&lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, }}&lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.


{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif */</comment>
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      <text bytes="328753" sha1="0oo86n2qnwgqr6e8oeb0ig8bljyf4rs" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» où }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»,

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ;
&lt;center&gt;en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nous obtenons &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; }}on conclut à l'&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la seule possibilité étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à }}une résolution approchée &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;ref name=&quot;petites élongations angulaires&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; on conclut à une résolution approchée }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera &lt;math&gt;\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\,-\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,+\theta_0\,&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.

=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; permettant d'effectuer }}selon «&lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.

=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.

=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angulaires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\,\theta_m\,&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\,1\; \%\,&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; mais aussi la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; d'où a priori une impossibilité de conclure, &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;par exemple « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\,2\;&lt;/math&gt;», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; plus grande » &lt;ref&gt; Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; un peu plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur&lt;math&gt;\bigg]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; nettement plus petite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\,1\;s\,&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\,2,45\;s\,&lt;/math&gt; sur la Lune&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{11}&lt;/math&gt; }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;ref&gt; Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\ldots\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation différentielle du mouvement en theta&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;&lt;/math&gt;», 
 
{{Al|5}}puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\,&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t = 0}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t &gt; 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» 

{{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;»

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;&lt;/math&gt;» définit }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;&lt;/math&gt;» définissant }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{1} \right)\,&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et à l’instant initial &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}«&lt;math&gt;\;E_m(t)\,&lt;/math&gt; étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.

=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période }}«&lt;math&gt;\;\theta_m\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,\theta\;&lt;/math&gt;», l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta_m}\,&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations selon &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_m}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;99&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &gt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 + \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\,\dfrac{\theta}{2}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, « }}angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'obtenant encore par &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\,\theta_0 - \pi\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,- \pi\,&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;périodique de période sous forme intégrale &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 &lt; 0}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}ces expressions de période pour &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la « dépendance de la période par rapport à &lt;math&gt;\,E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.&lt;math&gt;\color{transparent}{17}&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;portraits de phase d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\,\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \nearrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta} \searrow\,&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec }}correspondant à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \nearrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &gt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« vers les &lt;math&gt;\,\theta \searrow\,&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\,\dot{\theta} &lt; 0\,&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;portrait de phase }}&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, }}&lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un mouvement révolutif, }}&lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » }}correspond à un &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » correspond à un portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » correspond à un portrait de phase particulier }}cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;ref&gt; Le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l'arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\,2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Le point générique repartant }}dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\,2\,\pi\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Le point générique repartant }}ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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    <title>Discussion Recherche:Ce que le mouvement Wikimédia nous apprend sur l'Homme et la Société globalisée/Vietnam</title>
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      <comment>Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]]</comment>
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    <title>Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)</title>
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      <text bytes="483406" sha1="nyx4znv0na58pc4cdek4u5veqylwzpu" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>nyx4znv0na58pc4cdek4u5veqylwzpu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986625</id>
      <parentid>986624</parentid>
      <timestamp>2026-09-16T19:07:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Existence et résultats sur les intervalles I, bornés, de \mathbb{R}, et, en particulier, sur les parties de {PV}(\R) */</comment>
      <origin>986625</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="483421" sha1="ld1wkbk9t2azilp4xml6j4vph07n8cm" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

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'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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    <title>Recherche:Chiralité prébiotique 2</title>
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        <username>Mekkiwik</username>
        <id>5298</id>
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      <comment>/* Formation des aas à partir du pyruvate */</comment>
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  | idfaculté = biologie
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}}
{{Hypothèse
 | titre  = Chiralité prébiotique 2
 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]]
 | image  = {{idfaculté/logo/biologie}}
}}
&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 Met.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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        <username>Mekkiwik</username>
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      <comment>/* Formation des aas à partir du pyruvate */</comment>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2879 êtres, eucaryotes, bactéries, 84 archées
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein)
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2879 êtres, eucaryotes, bactéries, 84 archées
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2879 êtres
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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      <comment>/* Formation des aas à partir du pyruvate */</comment>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser: 10083 êtres pour ec111.95
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2879 êtres, eucaryotes, bactéries, 84 archées
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2879 êtres
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate====
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate)
*: - *&lt;u&gt;'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP.
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite)
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser: 10083 êtres pour ec111.95
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*: - *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 1075 êtres dont 130 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 1898 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2879 êtres, eucaryotes, bactéries, 84 archées
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2879 êtres
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein)
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein)
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--)
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;/ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;</text>
      <sha1>lqmng0mb48uzoe8gytneyj9d2fie5is</sha1>
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